勒洛三角形（三段圆弧组成的曲边三角形）

勒洛三角形

三段圆弧组成的曲边三角形

鲁洛克斯三角形（Reuleaux triangle）又称“勒洛三角形”、“莱洛三角形”、“圆弧三角形”，是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。

介绍

“鲁洛克斯三角形”是这样得到的：先画正三角ABC，然后以正三角形ABC的三个顶点为圆心，边长长为半径画弧得到的图形。

等宽曲线

圆和圆弧三角形具有这样一个特征：不论从什么方向用两条平行线去夹逼它，这两条平行线间的距离总是一样的，我们称具有这种性质的图形叫做“等宽曲线”（或定宽图形）。

等宽曲线最初的定义由一个十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux给出的：将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这两条平行线间的距离称为等宽曲线的宽度。

圆弧三角形又叫莱洛三角形、鲁洛克斯三角形，是由机械学家、数学家莱洛首先发现的，故而得名。

性质

定宽曲线和定宽性

定宽曲线的概念:具有(类似圆的)定宽性的曲线称为定宽曲线。

定宽性，几何上的理解是:将一个圆放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切。则可以做到:无论这个圆如何运动，它还是在这两条平行线内，并且始终与这两条平行线相切。

勒洛三角形就是典型的定宽曲线。

勒洛三角形的等宽性质很容易证明，其宽度等于构造等边三角形的边长。当勒洛三角形在边长为其宽度的正方形内旋转时，每一个角走过的轨迹基本上就是一个正方形。

面积关系

通过勒贝格积分可以算出，勒洛三角是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，其面积为1/2[π-(3^1/2)]s^2，s为定宽宽度。

应用

在美国旧金山，有一些市政检修井井盖的形状就是勒洛三角形，其最大优点是这种形状的井盖绝不会掉到井里去。

此外，一种基于勒洛三角形的变体的设备，它能钻出方孔来，其"方度"非常之好。

勒洛不能用作轮子，因为其中心并不稳定，每旋转一圈会有三次跳动。而作为滚轴使用则是相当平稳。马自达的转子发动机也是这个原理，因为勒洛三角形是定宽曲线中面积最小的。

画法

曲边三角形的画法如下：

1、画一个等边三角形；

2、以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。

等宽曲线

显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。

把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞，如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动。

实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动;反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。

用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不至于上下颠簸，这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁洛首先发现的，所以也称为鲁洛曲边三角形。

在鲁洛的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段，以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和;内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长；由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了。

参考资料

1.鲁洛克斯三角形·科技工作者之家