大数法则（概率论历史上第一个极限定理）

大数法则

概率论历史上第一个极限定理

大数法则，又称大数定律(law-of-large-numbers)，概率论历史上第一个极限定理，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律，由数学家伯努利研究而出。是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。大数定律分为弱大数定律和强大数定律。

定义

大数定律(law of large numbers)，又称 大数定理，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数“定律”，但是大数定律并不是经验规律，而是严格证明了的定理。有些随机事件无规律可循，但不少是有规律的，这些“有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。确切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出现的随机现象的统计规律性，即频率的稳定性和平均结果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。

简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”。该描述即贝努利大数定律。

发展历史

伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。后来泊松、切比雪夫、马尔科夫、格涅坚科等众多的数学家都有重大成就，弱大数定律的研究已经趋于完善，最好的结果是属于格涅坚科，他找到了弱大数定律成立的充要条件，而且没有任何独立性或同分布的要求。在二十世纪初，博雷尔引入测度论的方法之后，将伯努利大数定理推广到强大数定律开创了强大数定律的研究，之后工作最有成就的属于柯尔莫哥洛夫，他不但完成了概率的公理化，还找到了独立同分布下的强大数定律的充要条件。如今，对强大数定律的研究仍然是难题，数学家们在向着不独立随机变量序列服从强大数定律的条件努力。

举例说明

例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。

几乎处处收敛与依概率收敛不同。生活例子：开始上课了，慢慢地大家都安静下来，这是几乎处处收敛。绝大多数同学都安静下来，但每一个人都在不同的时间不安静，这是依概率收敛。

数学家

拉普拉斯

拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授，1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长，1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长，1827年3月5日卒于巴黎。

拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。 

德莫佛

德莫佛，法文原名 Abraham de Moivre，（1667.05.26法国-1754.11.27英国伦敦），法国数学家。德莫佛对数学最著名的贡献是德莫佛公式（de Moivre Formula）和德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，以及他对正态分布和概率理论的研究。德莫佛还写了一本概率理论的教科书，The Doctrine of Chances，据说这本书被投机主义者（gambler）高度赞扬。德莫佛是解析几何和概率理论的先驱之一；他还最早发现了一个二项分布的近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。

大数法则又称“大数定律”或“平均法则”。人们在长期的实践中发现，在随机现象的大量重复中往往出现几乎必然的规律，即大数法则。此法则的意义是：风险单位数量愈多，实际损失的结果会愈接近从无限单位数量得出的预期损失可能的结果。据此，保险人就可以比较精确的预测危险，合理的厘定保险费率，使在保险期限内收取的保险费和损失赔偿及其它费用开支相平衡。大数法则是近代保险业赖以建立的数理基础。保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。按照大数法则，保险公司承保的每类标的数目必须足够大，否则，缺少一定的数量基础，就不能产生所需要的数量规律。但是，任何一家保险公司都有它的局限性，即承保的具有同一风险性质的单位是有限的，这就需要通过再保险来扩大风险单位及风险分散面。

常见类型

由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。

常用的大数定律有：伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律。

设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律。

伯努利大数定律

设μ_n为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为每次实验中A出现的概率，则对任意的ε>0，有（2）成立。

切比雪夫大数定律

设{X_n}为一列两两不相关的随机变量序列，若每个X_i的方差存在，且有共同的上界，即Var(X_i)小于或等于c,则{X_n}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。

马尔可夫大数定律

对随机变量序列{X_n}，若（3）成立，则{X_n}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。

辛钦大数定律

设{X_n}为独立同分布的随机变量序列，若X_i的数学期望存在，则{X_n}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）成立。

参考资料

1.大数法则·希财网