集合（数学概念）

集合

数学概念

集合，是近现代数学最基本的内容之一。集合概念及其理论，成为集合论，是近现代数学的一个重要基础。最简单的说法，即是在最原始的集合论朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合论的基础上，另一方面，集合论及其所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用。由一个或多个元素所构成的叫做集合。集合中的元素有三个特征：确定性（集合中的元素必须是确定的），互异性（集合中的元素互不相同），无序性（集合中的元素没有先后之分）。

概念

集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。例如全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。我们通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。

若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S,记为y∉S。一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。

分类

基数

集合A中不同元素的数目称为集合A的基数，记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。

空集

有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如，我们称之为空集，记为∅。

子集

设S,T是两个集合，如果S的所有元素都属于T，即，

其中符号称为蕴含，即表示由左边的命题可以推出右边的命题，则称S是T的子集，记为。显然，对任何集合S，都有。

如果S是T的一个子集，即，但在T中存在一个元素x不属于S，即，则称S是T的一个真子集。

相等

如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合相等，记为S=T。显然我们有

其中符号称为当且仅当，表示左边的命题与右边的命题相互蕴含，即两个命题等价。

并交集

并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。

交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少。

若A包含B，则A∩B=B，A∪B=A

补集

相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或AB，即A-B={x|x∈A，且x∉B'}

绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或∁u（A）或~A。·U'=Φ；Φ‘=U

幂集

定义：设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集。

定理：有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次幂。

区间

数学分析中，最常遇到的实数集的子集是区间。

设a,b(a<b)是两个相异的实数，则满足不等式a<x<b的所有实数x的集合称为以a,b为端点的开区间，记为；满足不等式的所有实数的集合称为以a,b为端点的闭区间，记为；满足不等式或的所有实数x的集合称为以a,b为端点的半开半闭区间，分别记为及。

表示符号

常见的集合的表示符号：

N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,……}

N*或N+：正整数集合{1,2,3,……}

Z：整数集合{……,-1,0,1,……}

P：素数集合

Q：有理数集合

Q+：正有理数集合

Q-：负有理数集合

R：实数集合

R+：正实数集合

R-：负实数集合

C：复数集合

Φ：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合）

U：全集合（包含了某一问题中所讨论的所有集合）

表示法

表示集合的方法通常有三种。

列举法

列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。例如，光学中的三原色可以用集合{红，绿，蓝}表示；由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。

列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。如正整数集和整数集可以分别表示为和。

描述法

{代表元素|满足的性质}

设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x|P(x)}

例如，由2的平方根组成的集合B可表示为B={x|x2=2}。

而有理数集和正实数集则可以分别表示为和。

符号法

N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}

N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}

Z：整数集合{…,-1,0,1,…}

Q：有理数集合

Q+：正有理数集合

Q-：负有理数集合

R：实数集合(包括有理数和无理数）

R+：正实数集合

R-：负实数集合

C：复数集合

∅：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集）

特性

确定性

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

互异性

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

无序性

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论）

运算律

交换律：A∩B=B∩AA∪B=B∪A

结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C

分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

对偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C(A∩B)^C=A^C∪B^C

同一律：A∪∅=AA∩U=A

求补律：A∪A'=UA∩A'=∅

对合律：A''=A

等幂律：A∪A=AA∩A=A

零一律：A∪U=UA∩U=A

吸收律：A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A

德·摩根律（反演律）：(A∪B)'=A'∩B'(A∩B)'=A'∪B'

德·摩根律：1.集合A与集合B的交集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的并集;2.集合A与集合B的并集的补集等于集合A的补集与集合B的补集的交集。

容斥原理（特殊情况）：

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)

card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)

地位

集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的科学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。

模糊集

用来表达模糊性概念的集合，又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的。

因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。但在人们的思维中还有着许多模糊的概念，例如年轻、很大、暖和、傍晚等，这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答，模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。

由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而对象对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。这一概念是美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.扎德于1965年首先提出的。

模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象，从而构成了模糊集合论（中国通常称为模糊性数学)的基础。

基本性质

作为集合间的二元运算，△运算具有如下基本性质：

交换律：A△B=B△A；

结合律：(A△B)△C=A△(B△C)；

幺元：∀集合A，A△varnothing=A；（varnothing是△运算的幺元）。

逆元：A△A=varnothing；

参考资料

1.集合的概念 郁从根播·荔枝