ACF（统计学自相关函数）

ACF

统计学自相关函数

自相关函数（Autocorrelation Function）在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差(autocovariance)。自相关（英语：Autocorrelation），也叫序列相关，是一个信号于其自身在不同时间点的互相关。非正式地来说，它就是两次观察之间的相似度对它们之间的时间差的函数。它是找出重复模式（如被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频的数学工具。它常用于信号处理中，用来分析函数或一系列值，如时域信号。

性质

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。

对称性：从定义显然可以看出R(i)=R(−i)。连续型自相关函数为偶函数.

当f为实函数时，有：

R_f(- au)=R_f( au)。

当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：

R_f(- au)=R_f^*( au)。

其中星号表示共轭。

连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时τ，均有|R_f( au)| leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。

周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。

两个相互无关的函数（即对于所有τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。

由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除τ=0之外的所有点均为0。

维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：

R( au)=int_{-infty}^infty S(f) e^{j 2 pi f au} , df。

S(f)=int_{-infty}^infty R( au) e^{- j 2 pi f au} , d au。

实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的馀弦形式：

R( au)=int_{-infty}^infty S(f) cos(2 pi f au) , df。

S(f)=int_{-infty}^infty R( au) cos(2 pi f au) , d au。

举例

白噪声的自相关函数为δ函数：

r_{nn}=mathbb{E} { n(t) n(t- au) }=delta ( au )。

参考资料

1.自相关函数的性是什么·就上高考网