Booth算法（数学专业术语）

Booth算法

数学专业术语

比较好的带符号数乘法的方法是布斯(Booth)算法。它采用相加和相减的操作计算补码数据的乘积。Booth算法对乘数从低位开始判断，根据两个数据位的情况决定进行加法、减法还是仅仅移位操作。判断的两个数据位为当前位及其右边的位（初始时需要增加一个辅助位0），移位操作是向右移动。

基本内容

在上例中，第一次判断被乘数0110中的最低位0以及右边的位(辅助位0)，得00；所以只进行移位操作；第二次判断0110中的低两位，得10，所以作减法操作并移位，这个减法操作相当于减去2a的值；第三次判断被乘数的中间两位，得11，于是只作移位操作；第四次判断0110中的最高两位，得01，于是作加法操作和移位，这个加法相当于加上8a的值，因为a的值已经左移了三次。

一般而言，设y=y0,yly2…yn为被乘数，x为乘数，yi是a中的第i位(当前位)。根据yj与yi+1的值，Booth算法表示如下表所示，其操作流程如下图所示。在Booth算法中，操作的方式取决于表达式(yi+1-yi)的值，这个表达式的值所代表的操作为：

0无操作

+1加x

-1减x

Booth算法操作表示

yiyi+1操作说明

00无处于0串中，不需要操作

01加x1串的结尾

10减x1串的开始

11无处于1串中，不需要操作

乘法过程中，被乘数相对于乘积的左移操作可表示为乘以2，每次循环中的运算可表示为对于x(yi+1-yi)2^31-i项的加法运算(i=3l，30，…，1，0)。这样，Booth算法所计算的结果可表示为：

x×(0-y31)×2^0

+x×(y31-y30)×2^1

+x×(y30-y29)×2^2

…

+x×(y1-y0)×2^31

=x×(-y0×231+y1×2^30+y2×2^29+y31×2^0)

=x×y

举例

例：用Booth算法计算2×(-3)。

解：补=0010，补=1101，在乘法开始之前，R0和R1中的初始值为0000和1101，R2中的值为0010。

在乘法的第一个循环中，判断R1的最低位和辅助位为10，所以进入步骤1c，将R0的值减去R2的值，结果1110送人R0，然后进入第二步，将R0和Rl右移一位，R0和R1的结果为11110110，辅助位为l。

在第二个循环中，首先判断Rl的最低位和辅助位为0l，所以进入步骤1b，作加法，R0+R2=1111+0010，结果0001送入R0，这时R0R1的内容为00010110，在第二步右移后变为00001011，辅助位为0。

在第三次循环中，判断位为10，进入步骤lc，R0减去R2，结果1110送入R0，R1不变；步骤2移位后R0和R1的内容为111101011，辅助位为1。

第四次循环时，因两个判断位为11，所以不作加减运算，向右移位后的结果为11111010，这就是运算结果(—6)。

这个乘法的过程描述如下表所示，表中乘积一栏表示的是R0、R1的内容以及一个辅助位P，黑体字表示对两个判断位的判断。

用Booth补码一位乘法计算2×(-3)的过程

循环

步骤

乘积（R0,R1,P）

0

初始值

000011010

第一次循环

1c：减0010

111011010

2：右移1位

111101101

第二次循环

1b：加0010

000101101

2：右移1位

000010110

第三次循环

1c：减0010

111010110

2：右移1位

111101011

第四次循环

1a：无操作

111101011

2：右移1位

111110101

4．补码两位乘

补码两位乘运算规则是根据补码一位乘的规则，把比较yiyi+1的状态应执行的操作和比较yi-1yi的状态应执行的操作合并成一步，便可得出补码两位乘的运算方法。

补码两位乘法运算规则如下

判断位yi-1yiyi+1

操作内容

000

补=2-2补

001

补=2-2{补+补}

010

补=2-2{补+补}

011

补=2-2{补+2补}

100

补=2-2{补+2补}

101

补=2-2{补+补}

110

补=2-2{补+-x}补}

111

补=2-2补

由上表可见，操作中出现加2补和加2补，故除右移两位的操作外，还有被乘数左移一位的操作；而加2补和加2补，都可能因溢出而侵占双符号位，故部分积和被乘数采用三位符号位。

例：补=0.0101，补=1.0101求：补。

解：求解过程如下表所示。其中乘数取两位符号位即11.0101,补=1.1011取三符号位为111.1011。

部分积

乘数

说明

000.0000

+000.0101

1101010

判断位为010，加补

000.0101

000.0001

+000.0101

0111010

→2位

判断位为010，加补

000.0110

000.0001

+111.1011

01

1001110

→2位

判断位为110，加补

111.1100

1001

最后一步不移位，得补

故补=1.11001001

可见，与补码一位乘相比，补码两位乘的部分积多取一位符号位（共3位），乘数也多取一位符号位（共2位），这是由于乘数每次右移2位，且用3位判断，故采用双符号位更便于硬件实现。可见，当乘数数值位为偶数时，乘数取2位符号位，共需作n/2次移位，最多作n/2+1次加法，最后一步不移位；当n为奇数时，可补0变为偶数位，以简化逻辑操作。也可对乘数取1位符号位，此时共作n/2+1次加法和n/2+1次移位（最后一步移一位）。

对于整数补码乘法，其过程与小数乘法完全相同。为了区别于小数乘法，在书写上可将符号位和数值位中间的“.”改为“，”即可。

再补充一道例子，增加一下理解。呵呵

例1.37设被乘数M=0111（7），乘数Q=0011（3），相乘过程如下：(其中的①②……是我自己加上去的)

AQQ-1

①000000110初始值

②100100110A=A-M

③110010011右移（第1次循环）

④111001001右移（第2次循环）

⑤010101001A=A+M

⑥001010100右移（第3次循环）

⑦000101010右移（第4次循环）

乘法运算结束后，所得结果共8位，A寄存器中是乘积的高位部分，Q寄存器中是乘积的低位部分，即乘积=0010101=(21)(十进制）

例1.38设被乘数M=0111(7),乘数Q=1101（－3），相乘过程如下：

AQQ－1

000011010初始值

100111010A=A－M

110011101右移（第1次循环）

001111101A=A+M

000111110右移（第2次循环）

101011110A=A－M

110101111右移（第3次循环）

111010111右移（第4次循环）

乘积=11101011=(-21)(十进制)

其中的移位是循环移位.

被乘数n位要移位3次.

参考资料

1. booth算法什么时候结束·四川便利网