卷积公式（数学方法）

卷积公式

数学方法

在泛函分析中，卷积、旋积或摺积（英语：Convolution）是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分的面积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

简介

褶积（又名卷积）和反褶积（又名去卷积）是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用褶积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反褶积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反褶积方法很快引起了试井界的广泛注意。有专家认为，反褶积的应用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大。

基本内涵

简单定义：卷积是分析数学中一种重要的运算。

设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。

容易验证，(f*g)(x)=(g*f)(x)，并且(f*g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f*g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

定义

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果：

其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。

如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为：

其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。

性质

各种卷积算子都满足下列性质：

交换律、结合律、分配律、数乘结合律、其中a为任意实数（或复数）。

微分定理其中Df表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种。

卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

F(g(x)*f(x))=F(g(x))F(f(x))其中F表示的是傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n-1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

群上卷积

若G是有某m测度的群（例如豪斯多夫空间上Harr测度下局部紧致的拓扑群），对于G上m-勒贝格可积的实数或复数函数f和g，可定义它们的卷积：

对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的Peter-Weyl定理。

地震中的应用

卷积公式在许多学科领域都有着广泛的应用,将卷积公式推广得到了两个随机变量线性组合的概率密度计算公式,利用这个公式简化了计算概率密度的过程。

地震勘探中,在地表激发点激发的地震子波（seismicwavelet）向地下传播,当遇到地下波阻抗界面时,一部分能量就会作为反射地震波向上反射回地表,被地面的传感器接收,随着地震波不断向下传播、反射、接收,就会记录一系列时间延迟的地震波(大地滤波后的地震子波),称为地震记录。

这一过程或地震记录可以用数学模型描述.如果假设地下介质为古皮奥(Goupilaud)的水平层状介质模型,子波为雷克(Ricker)子波,地震记录可以看作是由震源子波与地下反射率

函数、多次反射、仪器等诸多因素的相褶积的过程,令x(t),w(t)和n(t)分别表示地震记录,地震子波及噪声,褶积过程数学模型描述为：

长期以来,褶积模型广泛用于描述地震信号.顾名思义,反褶积就是褶积的逆过程,从地震记录x(t)中恢复出反射率函数r(t)

参考资料

1.卷积公式的推广及应用·知网