欧拉常数（数学名词）
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欧拉常数
数学名词
欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。
| 中文名 | 欧拉常数 |
| 外文名 | Euler–Mascheroni constant |
| 提 出 | 莱昂哈德·欧拉 |
| 符 号 | γ |
| 领 域 | 数学 |
| 全 名 | 欧拉-马歇罗尼常数 |
简介
欧拉常数又称欧拉-马斯克若尼常数，近似值为γ≈0.577215664901532860606512090082402431042159335。
欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。
概述
欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)
欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。
由无穷级数理论可知，调和级数是发散的。但可以证明，
存在极限。由不等式可得
故有下界。而
再一次根据不等式取，即可得
所以单调递减。由单调有界数列极限定理，可知必有极限，即
存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。
性质
与伽玛函数的关系
与黎曼函数的关系
积分
级数展开式
连分数展开式（OEIS中的数列A002852）。
渐近展开式
已知位数
欧拉常数约为0.57721566490153286060651209。
日期 | 位数 | 计算者 |
1734年 | 6 | 莱昂哈德·欧拉 |
1736年 | 15 | 莱昂哈德·欧拉 |
1790年 | 19 | Lorenzo Mascheroni |
1809年 | 24 | Johann G. von Soldner |
1812年 | 40 | F.B.G. Nicolai |
1861年 | 41 | Oettinger |
1869年 | 59 | William Shanks |
1871年 | 110 | William Shanks |
1878年 | 263 | 约翰·柯西·亚当斯 |
1962年 | 1,271 | 高德纳 |
1962年 | 3,566 | D.W. Sweeney |
1977年 | 20,700 | Richard P. Brent |
1980年 | 30,100 | Richard P. Brent和埃德温·麦克米伦 |
1993年 | 172,000 | Jonathan Borwein |
1997年 | 1,000,000 | Thomas Papanikolaou |
1998年12月 | 7,286,255 | Xavier Gourdon |
1999年10月 | 108,000,000 | Xavier Gourdon和Patrick Demichel |
2006年7月16日 | 2,000,000,000 | Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo |
2006年12月8日 | 116,580,041 | Alexander J. Yee |
2007年7月15日 | 5,000,000,000 | Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo |
2008年1月1日 | 1,001,262,777 | Richard B. Kreckel |
2008年1月3日 | 131,151,000 | Nicholas D. Farrer |
2008年6月30日 | 10,000,000,000 | Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo |
2009年1月18日 | 14,922,244,771 | Alexander J. Yee和Raymond Chan |
2009年3月13日 | 29,844,489,545 | Alexander J. Yee和Raymond Chan |
2011年9月21日 | 970,258,158 | Eric Weisstein |
2013年7月22日 | 4,851,382,841 | Eric Weisstein |
计算方法
Xavier Gourdon在1999年使用以下算法计算欧拉常数到了108,000,000位：
对给定的，计算：
则有
其中，
满足方程。
对给定的n，此方法可以得到接近位的十进制小数精度。
参考资料
1.用随机试验法计算欧拉常数e·万方数据
