排列数公式(数理科学公式)
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排列数公式
数理科学公式
排列数公式就是从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关。加法原理和乘法原理是排列和组合的基础。
中文名 | 排列数公式 |
外文名 | Arrangement |
表达式 | Cn/rCr/m=Cn/mCn-m/r-m |
应用学科 | 数学 |
排列数
从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数。记作符号 。A是英文arrangement(排列)的第一个大写字母。
例如,从7个不同的元素中任取5个元素的排列数为 ,从10个不同的元素中任取7个元素的排列数为 。
排列数公式
排列
![](http://muzipingan.com/zb_users/upload/2023/03/20230327190452167991509222401.jpg)
公式P是排列公式,从N个元素取M个进行排列(即排序)。(P是旧用法,现在教材上多用A,即Arrangement)
公式
首项加末项乘项数除以二。排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示。p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1)
符号
1、C-组合数
A-排列数(在旧教材为P)
N-元素的总个数
R-参与选择的元素个数
!-阶乘,如5!=5×4×3×2×1=120
C-Combination组合
P-Permutation排列(现在教材为A-Arrangement)
2、排列组合常见公式
kCn/k=nCn-1/k-1(a/b,a在下,b在上)
Cn/rCr/m=Cn/mCn-m/r-m
推导过程
求排列数 可以按依次填m个空位来考虑:假定有排好顺序的m个空位,从n个不同元素a1,a2,a3,…,an中任意取m个去填空,一个空位填1个元素,每一种填法就对应1个排列,因此,所有不同填法的种数就是排列数。
![](http://muzipingan.com/zb_users/upload/2023/03/20230327190453167991509396848.png)
填空可分为m个步骤:
第1步,第1位可以从n个元素中任选一个填上,共有n种填法;
第2步,第2位只能从余下的n-1个元素中任选一个填上,共有n-1种填法;
第3步,第3位只能从余下的n-2个元素中任选一个填上,共有n-2种填法;
……
第m步,当前面的m-1个空位都填上后,第m位只能从余下的n-(m-1)个元素中任选一个填上,共有n-m+1种填法。
根据分步计数原理,全部填满m个空位共有n(n-1)(n-2)…(n-m+1)种填法。所以得到公式:
这里n,m∈N*,并且m≤n这个公式叫做排列数公式其中,公式右边第一个因数是n,后面的每个因数都比它前面一个因数少1,最后个因数为n-m+1,共有m个因数相乘。
基本理论和公式
排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关。如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合。
(一)两个基本原理是排列和组合的基础
(1)加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法.
(2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来.
(二)排列和排列数
(1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法.
(2)排列数公式:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列
当m=n时,为全排列Pnn=n(n-1)(n-2)…3·2·1=n!
![](http://muzipingan.com/zb_users/upload/2023/03/20230327190454167991509480147.jpg)
特点
排列数公式有以下一些特点:
1.该公式共有m项乘积。
2.在这m项乘积中第一个因数是n,以后各项均比前一项少1,最后一项是n-m+1。引入阶乘n!以后,排列数公式变形如下:
因此排列数公式还可以写成:
注意:为了保证公式在n=m时成立,特规定0! =1。
参考资料
1.排列数公式 排列数公式介绍说明·ZONWE咱文