正则性（数学术语）

正则性

数学术语

正则性一般用来刻画函数的光滑程度，正则性越高，函数的光滑性越好。通常用Lipschitz指数k来表征函数的正则性。

定义

小波基的正则性主要影响着小波系数重构的稳定性，通常对小波要求一定的正则性（光滑性）是为了获得更好的重构信号。小波函数与尺度函数具有相同的正则性，因为小波函数是由相应的尺度函数平移的线性组合构成的，因此，我们说尺度函数的正则性，也就是说小波函数的正则性。

另外，消失矩和正则性之间还有很大关系，对很多重要的小波（比如，样条小波，Daubechies小波等）来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。

性质

Lipschitz指数刻画了函数f与局部多项式的逼近程度，而函数与局部多项式的逼近程度又与函数的可微性相联系。如果函数在时刻t有奇异性则说明函数在t点不可微，因而在t点的Lipschitz指数刻画了该函数的奇异性行为。

应用

针对基于正则性指数图像去噪方法的不足，提出正则性指数和图像全变差(Total Variation，TV)正则先验结合的图像去噪模型。该模型利用小波系数与信号正则性之间的关系，在小波分解的不同尺度，通过改变小波系数来提高图像局部正则性。有效克服了正则性指数去噪算方法在图像边缘处所产生的Gibbs现象，具有较好的边缘结构保持和噪声滤除性能。

推广传统小波阈值与TV最小结合的变分模型到分数阶B样条小波，建立分数阶B样条小波域的TV去噪模型。通过分数阶B样条小波闽值和TV范数的结合，得到了对于纹理和边缘等几何结构都有良好保持性能的去噪图像。

参考资料

1.结构保持的图像去噪方法研究·知网空间