自然常数（数字概念）

自然常数

数字概念

自然常数e就是lim(1+1/x)^x，x→+∞或lim(1+z)^(1/z)，z→0，其值约为2.71828，是一个无限不循环小数。为超越数。它的其中一个定义是，其数值约为（小数点后100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 ”。

起源

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier)引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。

它的其中一个定义是，其数值约为（小数点后100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 ”。

第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。

用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证的超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。

公式

超越数主要只有自然常数(e)和圆周率(π)。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。

融合e，π的最完美的欧拉公式e^(iπ)+1=0，也是超越数e的数学价值的最高体现。

自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。

自然常数的来法比圆周率简单多了。

同时，它也等于1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……。注意，0!=1。

自然常数经常在公式中做对数的底。比如，对指数函数和对数函数求导时，就要使用自然常数。函数y=f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*ln(a)。函数y=f(x)=loga(x)的导数为f'(x)=loga(e)/x。

自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有a/ln(a)个。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，这个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理，由高斯发现。

此外自然常数还有别的用处。比如解题。请把100分成若干份，使每份的乘积尽可能大。把这个题意分析一下，就是求两个数a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。（说明，a可以为任意有理数，b必须为整数。）此时，便要用到自然常数。这需要使a尽量接近e。则b应为100/e≈36.788份，但由于份数要为整数，所以取近似值37份。这样，每份为100/37，所以a的b次方的最大值约为“94740617+167818+32.652”。

e是极为常用的超越数之一，它通常用作自然对数的底数。

指数的形式

φkρ=αe

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e。

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Eulernumber），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰?纳皮尔引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。

它的数值约是（小数点后99位）：e≈2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382178525166427

第一次提到常数e，是约翰?纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉?奥特雷德(WilliamOughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各?伯努利(JacobBernoulli).

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。

用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特(CharlesHermite)于1873年证明。

数学意义

超越数主要只有自然常数和圆周率。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。

自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。

自然常数的来法比圆周率简单多了。它就是函数y=f(x)=(1+1/x)x，当x趋向无穷大时y的极限。

同时，它也等于1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……。同时说明，0！也等于1。

自然常数经常在公式中做对数的底。比如，对指数函数和对数函数求导时，就要使用自然常数。函数y=f(x)=ax的导数为f'(x)=ax*ln(a)。函数y=f(x)=loga(x)的导数为f'(x)=1/x*ln(10)。

自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有a/ln(a)个。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，则个定理会越来越精确。这个定理叫素数定理，由高斯发现。

此外自然常数还有别的用处。比如解题。请把100分成若干份，使每份的乘积尽可能大。把这个题意分析一下，就是求两个数a和b，使ab=100，求ab的最大值。（说明，a可以为任意有理数，b必须为整数。）此时，便要用到自然常数。这需要使a尽量接近e。则b应为100/e≈36.788份，但由于份数要为整数，所以取近似值37份。这样，每份为100/37，所以ab的最大值约为9474061716781832.652。

e是极为常用的超越数之一，它通常用作自然对数的底数。

（1）数列或函数f(n)=(1+1/n)^n即(1+1/n)的n次方的极限值

列：1+1，（1+0.5）的平方，（1+0.33…）的立方，1.25^4，1.2^5，…

函数：实际上，这里n的绝对值(即“模”)需要并只需要趋向无穷大。

（1=）sum(1/n!)，n取0至无穷大自然数。即1+1/1！+1/2！+1/3！+…

（2）几个初级的相关公式：e^ix=cosx+i(sinx)，e^x=coshx+sinhx===sum((1/n!)x^n)，由此可以结合三角函数或双曲三角函数的简单性质推算出相对复杂的公式，如和角差角公式，等等，希望对朋友们学习和灵活应用它们有些帮助。

（3）用Windows7自带的计算器计算：菜单“查看／科学型“，再依次点击1sinh+(1cosh)=或用键盘输入1hs+(1ho)=或(1hs+(1ho))也可以从这里用ctrl+C复制，再切换到计算器，按ctrl+V（菜单“编辑/粘贴”），得到它的32位数值：

e=2.7182818284590452353602874713526（第31位小数四舍五入为7）

性质

（1）反比例函数y=1/x中，x+1至x=2上的投影的面积为e。

（2）y=e^x是一种导数与自身相等的函数。

（3）悬链线的函数表达式与e有关。其一般式为：y=(e^x+e^(-x))/2

（4）欧拉发现的一些著名公式。其中最著名的要属公式4。

（5）质数个数的统计

长期以来，质数的分布规律困扰着人们。1792年，15岁的高斯独立发现了比给定整数x小的质数分布规律。其规律如下

若设函数f(x)是表示整数x及其以下所有整数中质数的个数的函数。当x趋于无穷大时，f(x)的值趋于ln(x)的值。（ln(x)是自然对数的值）这就为估算质数在某个区间内的个数提供了方便。

（6）一些函数的极值问题

表达式(1-1/n)^n在n趋于无穷大时有极值1/e。

函数y=x^(1/x)的最大值在x=e时得。

表达式x^(x^(x^(x^...)中x在e^(-e)到e^(1/e)之间时表达式有极值。

参考资料

1.2的负无穷次方是多少·初三网

2.e在数学中代表什么·初三网