Jordan标准型（数学术语）

Jordan标准型

数学术语

每个n阶的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被矩阵A唯一确定的，它称为矩阵A的若尔当标准型。首先，Jordan标准型由主对角线为特征值，主对角线上方相邻斜对角线为1的Jordan块按对角排列组成的矩阵称为Jordan形矩阵，而主对角线上的小块方阵Ji称为Jordan块；其次，每个n阶的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被矩阵A唯一确定的，它成为矩阵A的若尔当标准型。

它们的初等因子与Jordan标准型都相同。

定义

对任一 阶矩阵 ，必存在 阶可逆阵 ，使 ，其中每一个对角块都是Jordan块： ，即对角线上同为 ，  的上面都有一个1，其余元素都是0， 是 阶方阵。因此 中所有 都是矩阵 的特征值， 。进一步，若不计各个Jordan块 的排序， 是由  唯一确定的，也就是说，  的Jordan块标准型，在不计Jordan块次序的前提下，是唯一确定的。我们称 称为Jordan块。

每个阶的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被矩阵唯一确定的，它成为矩阵的若尔当标准型。

实例

Jordan阵

例如：

。

非Jordan阵

。

相关定理

定理1

设 是复数域上的n维线性空间上的线性变换.，在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序是被唯一决定的。

定理2

复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的初等因子全为一次的。

定理3

复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的不变因子都没有重根。

参考资料

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