对数正态分布（数学术语）

对数正态分布

数学术语

对数正态分布（logarithmic normal distribution）：一个随机变量的对数服从正态分布，则该随机变量服从对数正态分布。对数正态分布从短期来看，与正态分布非常接近。但长期来看，对数正态分布向上分布的数值更多一些。

介绍

在分析测试中，特别是在衡量分析中，在不少情况下，测定值不遵循正态分布，而是遵循对数正态分布。在很多应用中，特别是在可靠性和维修性方面，数据可能不符合正态分布。可是，随机变量的对数可能符合正态分布，对此情况称为对数正态分布。如果应用对数正态分布，在对数正态图纸上数据的图形将是一条直线。绘图的过程与其他分布是相同的。其分析的过程包括计算对数值的平均值和标准差，以及对最终结果取反对数。

对数正态分布与正态分布很类似，除了它的概率分布向右进行了移动。对数正态分布从短期来看，与正态分布非常接近。但长期来看，对数正态分布向上分布的数值更多一些。更准确地说，对数正态分布中，有更大向上波动的可能，更小向下波动的可能。

定义

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果X是服从正态分布的随机变量，则exp(X)服从对数正态分布；同样，如果Y服从对数正态分布，则ln(Y)服从正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。

性质

一些正偏态资料的变量值，通过对数转换后，由偏态分布转为正态分布。某些正偏态资料，如血铅含量、某些传染病的潜伏期等，经对数变换后可符合正态分布。

对数正态分布用于半导体器件的可靠性分析和某些种类的机械零件的疲劳寿命。其主要用途是在维修性分析中对修理时间数据进行确切的分析。

已知对数正态分布的密度函数，就可以根据可靠度与不可靠度函数的定义计算出该分布的可靠度函数和不可靠度函数的表达式。

应用

根据新浪微博的实际用户数据，发现粉丝数、关注数和微博数3个特征量的分布，都存在双段幂律分布现象，不同类型用户特征量的分布具有差异性。使用双帕累托对数正态(DPLN)分布对数据进行拟合，相比对数正态分布和幂律分布，可以得到更优的效果。

用户活跃时间服从指数分布，不同活跃时间的3个用户特征量都近似服从对数正态分布；用户特征量的增长率服从对数正态分布，且与特征量自身的规模无关，这些特征与双帕累托对数正态分布模型一致，从而使用这一模型可以很好地解释粉丝数、关注数和微博数分布特性的形成机制。

参考资料

1.微博网络中用户特征量和增长率分布的研究·知网空间