收敛半径（数学术语）

收敛半径

数学术语

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 |z -a| <r时幂级数收敛，在 |z -a| >r时幂级数发散。

推导

用第n+1项除以第n项,整个的绝对值,小于1,解出x(或x-a这决定于你级数的展开)的绝对值小于的值就是收敛半径收敛域就是求使其收敛的所有的点构成的区域。

比如收敛半径是r,求收敛域,就是判断x(或x-a)的对值r时必发散,所以只要判断=r时的两个点是否收敛即可,如过有收敛就把该点并到<r的区域上即得收敛域。

计算

基本内容

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

或者。复分析中的收敛半径

将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：

一个中心为a的幂级数f的收敛半径R等于a与离a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。

到a的距离严格小于R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。

最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数

没有复根。它在零处的泰勒展开为：

运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数f(z)在±i存在奇点，其与原点0的距离是1。

简单的例子

三角函数中的正切函数可以被表达成幂级数：

运用审敛法可以知道收敛半径为1。

一个更复杂的例子

考虑如下幂级数展开：

其中有理数Bn是所谓的伯努利数。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当z=0时，函数没有奇性，因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得

e1=0

的复数z。设z=x+iy，那么

要使之等于1，则虚部必须为零。于是有y=kπ，其中。同时得到x=0。回代后发现k只能为偶数，于是使得分母为零的z为2kπi的形式，其中。

离原点最近距离为2π，于是收敛半径为2π。

收敛圆上的敛散性

如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为r，那么所有满足|za|=r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

例1:函数(z)=(1z)在z=0处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。

例2:函数g(z)=ln(1z)在z=0处展开的幂级数收敛半径为1，在z=1处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数(z)是-g(z)的复导数。

例3:幂级数

的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设h(z)是这个级数对应的函数，那么h(z)是例2中的g(z)除以z后的导数。h(z)是双对数函数。

例4:幂级数

的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。

参考资料

1.收敛半径的求法·高三网