幂等矩阵（数学术语）

幂等矩阵

数学术语

幂等矩阵，是指若A为方阵，且A^2=A，则A称为幂等矩阵。

概述

等价命题1：若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵；

等价命题2：若A是幂等矩阵，则A的AH,AT,A*，E-AH，E-AT都是幂等矩阵；

等价命题3：若A是幂等矩阵，则对于任意可逆阵T,T^(-1)·A·T也为幂等矩阵；

等价命题4：若A是幂等矩阵，A的k次幂任是幂等矩阵。

性质

幂等矩阵的主要性质：

1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

2.幂等矩阵可对角化；

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；

4.可逆的幂等矩阵为E；

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；

7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）。

应用

先利用分块矩阵的初等变换证明了两个幂等矩阵的组合aP+bQ-cPQ的一个秩等式(其中a≠0,b≠0,P与Q是两个幂等矩阵)。再利用P-Q可逆的性质及投影算子,得出了一些可逆的组合P±Q,I-PQ,aP+bQ-cPQ-dQP的逆的显式表达式(其中P,Q是两个n阶幂等矩阵)。这些逆的表达式刻画了两个幂等矩阵的组合的一些特性。

参考资料

1.关于两个幂等矩阵的组合的逆·知网空间