旋度（数理科学知识点）

旋度

数理科学知识点

旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。

旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。

举例来说，假设一台滚筒洗衣机运行的时候，从前方看来，内部的水流是逆时针旋转，那么中心水流速度向量场的旋度就是朝前方向外的向量。

定义

定义向量场的旋度，首先要引入环量（或称为旋涡量）的概念。给定一个三维空间中的向量场以及一个简单闭合有向(平面)曲线，沿着曲线的环量就是沿着路径的闭合曲线积分：其中曲线上的线元，方向是曲线的切线方向，其正方向规定为使得闭合曲线所包围的面积在它的左侧。

举例来说，假如在河岸边看到河中有逆时针旋转的漩涡，那么在漩涡范围内，水流围绕涡心旋转，所以水流速度沿着逆时针围绕漩涡的闭合曲线积分一定大于零，即是说环量大于零。这说明漩涡中的水流流速场在漩涡范围内是转圈旋转的。

环量和通量一样，是描述向量场的重要参数。某个区域中的环量不等于零，说明这个区域中的向量场表现出环绕某一点或某一区域旋转的特性。旋度则是局部地描述这一特性的方法。为了描述一个向量场在一点附近的环量，将闭合曲线收小，使它包围的面元的面积趋于零。

就是的环量面密度（或称为环量强度）。显然，随着面积取的方向不同，得到的环量面密度也有大有小。如果要表现一点附近向量场的旋转程度，则应该表现出其最大可能值以及其所在面积的方向。而向量场的旋度是一个向量。它在一个方向上的投影的大小表示了在这个方向上的环量面密度的大小。

从定义中可以看出，旋度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是向量场沿一个闭合曲线的环量。如果一个向量场中处处的旋度都是零，则称这个场为无旋场。

坐标系中表示

在不同的坐标系下，向量场的旋度有不同的表达方式。

物理意义

设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小.一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则。

旋度的重要性在于，可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度。磁场是有旋场，静电场是无旋场。

参考资料

1.旋度·小娃子