马氏距离（马哈拉诺比斯提出的定义）

马氏距离

马哈拉诺比斯提出的定义

马氏距离(Mahalanobis distance)是由印度统计学家马哈拉诺比斯提出的，表示点与一个分布之间的距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的），并且是尺度无关的(scale-invariant)，即独立于测量尺度。对于一个均值为μ，协方差矩阵为Σ的多变量向量，其马氏距离为sqrt((x-μ)'Σ^(-1)(x-μ))。

定义

马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量之间的差异程度。

如果协方差矩阵为单位矩阵，那么马氏距离就简化为欧氏距离，如果协方差矩阵为对角阵，则其也可称为正规化的欧氏距离。

欧氏距离缺点

我们熟悉的欧氏距离虽然很有用，但也有明显的缺点。它将样品的不同属性（即各指标或各变量）之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。例如，在教育研究中，经常遇到对人的分析和判别，个体的不同属性对于区分个体有着不同的重要性。因此，有时需要采用不同的距离函数。

比较

马氏与欧式距离的比较：

1）马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出，也就是说，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；

2）在计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧氏距离计算即可。

3）还有一种情况，满足了条件总体样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在，比如三个样本点（3，4），（5，6）和（7，8），这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下，也采用欧氏距离计算。

4）在实际应用中“总体样本数大于样本的维数”这个条件是很容易满足的，而所有样本点出现3）中所描述的情况是很少出现的，所以在绝大多数情况下，马氏距离是可以顺利计算的，但是马氏距离的计算是不稳定的，不稳定的来源是协方差矩阵，这也是马氏距离与欧氏距离的最大差异之处。

马氏距离的优劣：

优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关，由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。

缺点：它的缺点是夸大了变化微小的变量的作用。

如果用dij表示第i个样品和第j个样品之间的距离，那么对一切i，j和k，dij应该满足如下四个条件：

①当且仅当i=j时，dij=0

②dij>0

③dij=dji（对称性）

④dij≤dik+dkj（三角不等式）

显然，欧氏距离满足以上四个条件。满足以上条件的函数有多种，本节将要用到的马氏距离也是其中的一种。

第i个样品与第j个样品的马氏距离dij用下式计算：

dij=((xi一xj)TS-1(xi一xj))1/2(T、-1、1/2都是上标)

其中，T表示转置，xi和xj分别为第i个和第j个样品的m个指标所组成的向量，S为样本协方差矩阵。

马氏距离在回归分析中，是测量某一自变量的观测量与同一自变量所有观测量平均值差异的统计量，此值越大，说明该观测量为影响点的可能性越大。

spss操作为：“分析”～“回归”～“线性”～“统计”对话框～“残差”栏～Mahalanobis距离

参考资料

1.·