进制（数学术语）

进制

数学术语

进制，数制是人们利用符号进行计数的科学方法。数制有很多种，在计算机中常用的数制有：十进制，二进制和十六进制。进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。对于任何一种进制---X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57(10)，可以用二进制表示为111001(2)，也可以用五进制表示为212(5)，也可以用八进制表示为71(8)、用十六进制表示为39(16)，它们所代表的数值都是一样的。

位权概念

对于形式化的进制表示，我们可以从0开始，对数字的各个数位进行编号，即个位起往左依次为编号0，1，2，……；对称的，从小数点后的数位则是-1，-2，……

进行进制转换时，我们不妨设源进制（转换前所用进制）的基为R1，目标进制（转换后所用进制）的基为R2，原数值的表示按数位为AnA(n-1）……A2A1A0.A-1A-2……，R1在R2中的表示为R，则有（AnA(n-1）……A2A1A0.A-1A-2……）R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2

（由于此处不可选择字体，说明如下：An，A2，A-1等符号中，n，2，-1等均应改为下标，而上标的幂次均用^作为前缀）

举例：

一个十进制数110，其中百位上的1表示1个10^2，既100，十位的1表示1个10^1，即10，个位的0表示0个100，即0。

一个二进制数110，其中高位的1表示1个2^2，即4，低位的1表示1个2^1，即2，最低位的0表示0个2^0，即0。

一个十六进制数110，其中高位的1表示1个16^2，即256，低位的1表示1个16^1，即16，最低位的0表示0个16^0，即0。

可见，在数制中，各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有关，我们称这关系为数的位权。

十进制数的位权是以10为底的幂，二进制数的位权是以2为底的幂，十六进制数的位权是以16为底的幂。数位由高向低，以降幂的方式排列。负进制记数是一种类似正进制记数的记数方法，正进制记数每一位上的权都是正的，而负进制记数奇数位上的权为负，偶数位上的权为正。

进数转换

1.二进制数、十六进制数转换为十进制数

（按权求和）

二进制数、十六进制数转换为十进制数的规律是相同的。把二进制数（或十六进制数）按位权形式展开多项式和的形式，求其最后的和，就是其对应的十进制数——简称“按权求和”.

例如:把(1001.01)2转换为十进制数。

解：（1001.01）2

=1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

=8+0+0+1+0.5+0.25

=9.75

把(38A.11)16转换为十进制数

解:(38A.11)16

=3×162+8×16+10×160+1×16-1+1×16-2

=768+128+10+0.0625+0.0039

=906.0664

2.十进制数转换为二进制数,十六进制数

(除2/16取余法)

整数转换.一个十进制整数转换为二进制整数通常采用除二取余法,即用2连续除十进制数,直到商为0,逆序排列余数即可得到――简称除二取余法．

例：将25转换为二进制数

解:25÷2=12余数1

12÷2=6余数0

6÷2=3余数0

3÷2=1余数1

1÷2=0余数1

所以25=(11001)2

同理,把十进制数转换为十六进制数时,将基数2转换成16就可以了.

例:将25转换为十六进制数

解:25÷16=1余数9

1÷16=0余数1

所以25=(19)16

3.二进制数与十六进制数之间的转换

由于4位二进制数恰好有16个组合状态,即1位十六进制数与4位二进制数是一一对应的.所以,十六进制数与二进制数的转换是十分简单的.

(1)十六进制数转换成二进制数,只要将每一位十六进制数用对应的4位二进制数替代即可――简称位分四位.

例:将(4AF8B)16转换为二进制数.

解:4AF8B

01001010111110001011

所以(4AF8B)16=(1001010111110001011)2

(2)二进制数转换为十六进制数,分别向左,向右每四位一组,依次写出每组4位二进制数所对应的十六进制数――简称四位合一位.

例:将二进制数(111010110)2转换为十六进制数.

解:000111010110

1D6

所以111010110)2=1D6H

转换时注意最后一组不足4位时必须加0补齐4位。

数制转换的一般化

1）R进制转换成十进制

任意R进制数据按权展开、相加即可得十进制数据。例如：N=1101.0101B=1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4=8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625=13.3125

N=5A.8H=5*16^1+A*16^0+8*16^-1=80+10+0.5=90.5

2）十进制转换R进制

十进制数转换成R进制数，须将整数部分和小数部分分别转换.

1.整数转换——---除R取余法规则：（1）用R去除给出的十进制数的整数部分，取其余数作为转换后的R进制数据的整数部分最低位数字；（2）再用R去除所得的商，取其余数作为转换后的R进制数据的高一位数字；（3）重复执行（2）操作，一直到商为0结束。例如：115转换成Binary数据和Hexadecimal数据，所以115=1110011B=73H

2．小数转换————---乘R取整法规则：（1）用R去乘给出的十进制数的小数部分，取乘积的整数部分作为转换后R进制小数点后第一位数字；（2）再用R去乘上一步乘积的小数部分，然后取新乘积的整数部分作为转换后R进制小数的低一位数字；（3）重复（2）操作，一直到乘积为0，或已得到要求精度数位为止。

3.小数转换——整数退位法：举例：0.321d转成二进制，由于321不是5的倍数，用取余法、取整法可能要算很久，这时候我们可以采用整数退位法。原理如下：

n为转成的二进制数的小数位数

(x)10=(y)2

(x)10*2^n=(y)2*2^n

D=(x)10*2^n：计算10进制数，取整

D→T转成2进制数

(y)2=T/2^n=T*2^(-n)，T退位，位数不足前端补零

举例:

0.321转成二进制数，保留7位

0.321*2^7=41.088,取整数41

41=32+8+1即100000+1000+1=101001

退位，因只有6位而要求保留7位，所以是0.0101001

用在线转换工具校验，正确

and、or、xor运算

所有进制的and（和）、or（或）、xor（异或）运算都要转化为二进制进行运算，然后对齐位数，进行运算，具体的运算方法和普通的and、or、xor相同，如：1and1=1，1and0=0，0and0=0，1or1=1，1or0=1，0or0=0，1xor1=0，1xor0=1，0xor0=0。就是一般的二进制运算。

如：35（H）and5（O）=110101（B）and101（B）=101（B）=5（O）

参考资料

1.关于负进制记数的一种算法·知网空间