范德蒙行列式(一种特殊行列式)
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范德蒙行列式
一种特殊行列式
范德蒙行列式就是在求线形递归方程通解的时候计算的特殊行列式。范德蒙德行列式的标准形式为n阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差的乘积。根据范德蒙德行列式的特点,可以将所给行列式化为范德蒙德行列式,然后利用其结果计算。
中文名 | 范德蒙行列式 |
外文名 | Vandermonde determinant |
所属学科 | 数学 |
应用 | 求线形递归方程通解等 |
定义
形如
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的n阶行列式称为范德蒙行列式。
性质
对任意的n(n2),n阶范德蒙行列式Dn为
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则它等于这n个数x1,x2,...,xn的所有可能的差的乘积,即
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证明
用数学归纳法。当n=2时,范德蒙德行列式D2=x2-x1,范德蒙德行列式成立;现假设范德蒙德行列式对n-1阶也成立,对于n阶有:首先要把Dn降阶,从第n列起用后一列减去前一列的x1倍,然后按第一行进行展开,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1,于是就有Dn=(xi-xj)(其中表示连乘符号,其下标i,j的取值为mij1),原命题得证。
参考资料
1.·