克拉默法则（数学定理）

克拉默法则

数学定理

克拉默法则，又名克莱姆法则（Cramer's Rule），是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。

使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度，一般没有计算价值，复杂度太高。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。

作者介绍

克莱姆（Cramer Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。

后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。

主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。

为了确定经过5个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。

基本介绍

假若有n个未知数，n个方程组成的方程组：或者写成矩阵形式为Ax=b，其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。

而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai〔i=1，2，……，n〕是矩阵A中第i列的a1i，a2i，ani（即第i列）依次换成b1，b2，bn所得的矩阵。但当A不是方阵,克拉默法则则无法求解,其实利用矩阵秩的理论可以将克拉默法则进行推广,使其能求解任意有唯一解的线性方程组。

克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·fn)，一般没有计算价值，复杂度太高。

当b1,b2,bn不全为0时，方程组为非齐次性方程组。

系数矩阵A非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；

系数矩阵A奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解或无解。

当b1=b2=bn=0时，方程组为齐次性方程组。

若系数矩阵A非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这个解为平凡解。

若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。

其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。

内容要点

从三元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。

在引入克莱姆法则之前，先引入有关n元线性方程组的概念。

含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。当其右端的常数项不全为零时，线性方程组⑴称为非齐次线性方程组，当全为零时，线性方程组⑵称为齐次线性方程组，即：定理1(克莱姆法则）若线性方程组的系数行列式D≠0，则线性方程组有唯一解，其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的。对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解。用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法。

克拉默法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。

法则总结

1、克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;

2、应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；

（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零；

3、克莱姆法则的局限性：

（1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。

（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

技术应用

克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。

先考虑两条等式和。因为u和v都是没相关的变数，我们可定义和，找出一条等式适合是克莱姆法则的简单应用。

首先，我们要计算F、G、x和y的导数，然后用两个雅可比矩阵来表示的方程，用类似的方法就可以找到。

参考资料

1.克拉默法则的一个简单证明及其推广·中国知网