轴对称（数学学科概念）

轴对称

数学学科概念

轴对称像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称（linesymmetry），这条直线叫做对称轴（axis of symmetry），两个图形中对应的点叫做对称点（symmetric points）。 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形（symmetric figure），这条直线就是对称轴。 对称点到对称轴的距离相等。

意义

定义

这人教社老教材第十一册中指出"如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形"。苏教版中指出：一个图形如果沿某条直线对折，对折后折痕两边的部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形。梳子的图片也是轴对称图形。注：斜放的图形只要能沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称图形。在轴对称图形中间画一条线，那条线叫对称轴。

性质

像右图，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点（symmetricpoints）,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

判定

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicularbisector）。这样就得到了以下性质：

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

作用

可以通过对称轴的一边从而画出另一边。

可以通过画对称轴得出的两个图形全等。

扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

应用

关于平面直角坐标系的X,Y对称意义：

如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。

相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

关于二次函数图像的对称轴公式

也叫做轴对称公式

设二次函数的解析式是y=ax^2+bx+c

则二次函数的对称轴为直线x=-b/2a,顶点横坐标为-b/2a,顶点纵坐标为(4ac-b^2)/4a

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．

另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．

应用试题

例1△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB+PC>AB+AC．

分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP，CP，则DP=CP，BD=AB+AC．这样，把AB+AC，AC，PB，PC集中到△BDP中，从而由PB+PD>BD，可得PB+PC>AB+AC．

证：（略）．

点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB+AC化直为BD）．

例2等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于，求此梯形的高．

解：如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF=m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA=OD，OB=OC，AM=DM，BN=CN．又AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM=AD，2ON=BC．∵AD+BC=2EF=2m，∴2OM+2ON=2m．

∴OM+ON=，所以梯形高MN=m．

确定点的位置找最小值

例1AB∥CD，AC⊥CD，在AC上找一点E，使得BE+DE最小。

解：作点B关于AC的对称点B′，连接DB′，交AC于点E，点E就是要找的点。

例2，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．

解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点。

例3要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？

分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置。

与其它学科的结合

唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分。

对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨。一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”。

太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐。可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现。

生活中的轴对称无处不在，只要你善于观察，将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受。

对称之后解方程

求有关最小值问题，经常利用对称的思想转移点的位置，改变思维角度，再利用（直线）一次函数的解析式求得最小值点的坐标，真正体现出“数形结合”的数学思想。

例1已知两点A（0，2），B（4，1），点P是x轴上的一点，且PA+PB的值最小，求点P的坐标。

分析，在坐标系中先标出点A、B的位置，在x轴上要确定一点P，使PA+PB最小，先作出点A关于x轴的对称点A′，连结A′B，与x轴交于点P，根据“两点之间，线段最短”的道理，点P就是要求的点（如果另取一点P′，则P′A+P′B>PA+PB，这些都应该考虑到）．

例2某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货站D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．将A、B、C三点画在平面直角坐标系中，x轴为公路，货站要建在公路边上，且要保证送货路程最短，请画出点D的位置，并求出点D的坐标．

分析：假设点D已确定，送货路程之和为DA+AB+BC+CD，因为点A、B、C的位置已确定，所以AB+BC是固定的，只要DA+CD最小就可以保证送货路程最短．利用对称思想，可取点A关于x轴的对称点A′，连接A′C，交x轴于点D，点D即为所求．解：略。

参考资料

1.轴对称·出国留学网