区间（数学概念）

区间

数学概念

在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x和y是两个在集合里的数，那么，任何x和y之间的数也属于该集合。通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。

记号

通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。例如，区间(10,20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。另一方面，[10,20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。而当我们任意指一个区间时，一般以大写字母I记之。

有的国家是用逗号来代表小数点，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替。例如[1,2.3]就要写成[1;2,3]。否则，若只把小数点写成逗号，之前的例子就会变成[1,2,3]了。这时就不能知道究竟是1.2与3之间，还是1与2.3之间的区间了。

在法国及其他一些欧洲国家，是用]与[代替。比如(1，2)写成]1，2[，[2，3）写成[2，3[。这种写法原先也包括在国际标准化组织编制的ISO 31-11内。ISO 31-11是一套有关物理科学及科技中所使用的数学符号的规范。在2009年，已由新制订的ISO 80000-2所取替，不再包括]与[的用法。

定义

用集合的语言，我们定义各种区间为：

注意(a,a)(a,a],[a,a)均是代表空集，单元素集合不能用区间表示，如集合{0}不能表示为[0]或[0,0]。而当a>b时，上述的四种记号一般都视为代表空集。区间不为空集时，a,b称为区间的端点。一般定义b-a为区间的长度。区间的中点则为(a+b)/2。

区间[a,b]有时也称为线段。（不为空集或单元素集的话）

除了表示区间，圆括号和方括号也有其他用法，视乎语境而定。譬如(a,b)也可表示集合论中的有序对丶解析几何中点的坐标，线性代数中向量的坐标，有时也用来表示一个复数，有时在数论中，用(a,b)表示整数a,b的最大公约数。[a,b]也偶尔用作表示有序对，尤其在计算机科学的范畴里。同样在数论里，用[a,b]表示整数a,b的最小公倍数。

有部分作者以]a,b[来表示区间(a,b)在实数集里的补集，即是包含了小于或等于a的实数，以及大于或等于b的实数.

无限区间

我们可以用符号来表示区间在某方向上无界。具体定义如下：

特别地，(0,)表示正实数集，亦记作.[0,]则表示了非负实数集。

如果区间是单侧无界，也称为射线或半直线。如果它包含有限端点，则称其为闭射线或闭半直线。如果不包含有限端点，则称其为开射线或开半直线。

一般使用的便是以上五种记号，而[],[),[],(],[]等的写法则相当少见。有的作者假定区间为实数集的子集，对于他们来说，这些写法要麽是无意义，要麽就是跟用圆括号的意思没两样。在後者的情况下，我们可以写作()=[]=[)=(]。于是实数集可被视为又开又闭的区间。

如果我们考虑扩展的实数轴，那么这四种写法是有数的区间。

一般而言，对于整数a,b，具体写作：。

除了[a..b]，也有{a..b}和a..b的写法，意思一样。

[a..b]的记号被用于一些程式语言，例如Pascal和Haskell。

如果一个整数区间是有界的话，那麽它必然包含最小数a和最大数b。因此，如果想定义去掉最小数或最大数的区间，只需用[a..b-1],[a+1..b]或[a+1..b-1]表示。无需像实数区间般引进[a..b)或(a..b)的记号。

分类

实数区间一共可分成11种，如下所列。其中a,b是实数，且a

#1、#4、#8、#10、和#11可称为“开区间”（标准拓扑下是开集），#1、#2、#3、#7、#9和#11可称为“闭区间”（标准拓扑下是闭集）。#3和#4有时称为“半开区间”或“半闭区间”。#1和#11同时为“开”和“闭”，并非“半开”、“半闭”。

区间表示法

区间表示法是指在实数线上，以视觉化的方式表示出一个区间的范围。亦指以区间形式给出（含有一个未知数x的）不等式的解集。

性质

上述的各种区间正是实数轴上的全体连通子集。由此可推得，一个区间在连续函数下的像也是一个区间，这是介值定理的另外一个表述。

区间也恰好涵盖了实数集的所有凸的子集。另，设X是的一个子集，如果Y是包含X的最小闭区间（即如果Z是另一个包含X的闭区间，Y也包含于Z），便是Y的凸包。实际上,。

任意一组区间的交集仍然是区间。两个区间的并集是区间，当且仅当它们的交集非空，又或者一个区间所不包含的端点，恰好是另一个区间包含的端点。例如：。

如果把当作度量空间，它的开球便是区间（r为正数），闭球便是区间[c-r,c+r]。

定义推广

多维区间

一个n维区间可定义为的子集，其为n个区间的笛卡尔积，即。

n=2时，一般来说是定义了一个长方形，它的长和宽分别平行于两条坐标轴。n=3时，一般的是定义了一个长方体，它的各边同样是平行于坐标轴。

复数区间

复数的区间可定义成复平面上的一个区域，两种合理的选择是长方形或圆盘。

区间算术

区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算，在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。

区间算术的基本运算是，对于实数线上的子集[a,b]及[c,d]：

被一个包含零的区间除，在基础区间算术上无定义。

区间算术的加法和乘法符合交换律、结合律和子分配律：集X(Y+Z)是XY+XZ的子集。

参考资料

1.Decimal Comma·Wolfram Alpha