截长补短法（初中几何辅助线添加方法）

截长补短法

初中几何辅助线添加方法

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边

定义

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。

截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

用法例题

例1：正方形AbcD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45。求证：EF=DE+BF。

解：延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

∵ABCD是正方形

∴∠ADG=∠ABF=90°

AD=AB

又∵DG=BF

∴ADG≌ABF（SAS）

∴∠GAD=∠FAB，AG=AF

∵ABCD是正方形

∴∠DAB=90°

=∠DAF+∠FAB

=∠DAF+∠GAD

=∠GAF

∴∠GAE=∠GAF-∠EAF

=90°-45°

=45°

∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF

∴AE=AE

∴△EAG≌△EAF（SAS）

∴EF=GE

=GD+DE

=BF+DE 

例2：如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。

解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。

∵∠5和∠6是对顶角

∴∠5=∠6

又∵E是CD的中点

∴DE=EC

∵AD∥BC

∴∠1=∠DCF

在△AED和△CEF中：

【∠5=∠6】

【∠1=∠F】

【DE=EC】

∴△AED≌△CEF（AAS)

∴AD=CF，AE=EF

∴AB=AD+BC

=CF+BC

=BF

∴△ABF是等腰三角形

∵△ABF是等腰三角形，AE=EF

∴BE⊥AF

∴∠AEB=90 

例3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求证：AB+BD=AC。

证明：在AC上截取AE=AB，连接DE。∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

在△ABD和△AED中：

【AB=AE】

【∠1=∠2】

【AD=AD】

∴△ABD≌△AED（SAS）

∴BD=DE，∠B=∠3

又∵∠B=2∠C

∴∠3=2∠C

∵∠3=∠4+∠C

∴2∠C=∠4+∠C

∴∠C=∠4

∴DE=CE

∴BD=CE

∵AE+EC=AC

∴AB+BD=AC 

例4：如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。求证：CD=CB。

证明：在AB上找一点E，使AE=AD，连接CE。∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠BAC

在△ACD和△ACE中：

【AE=AD】

【∠DAC=∠BAC】

【AC=AC】

∴△ACD≌△ACE(SAS)

∴∠ADC=∠AEC，CD=CE

∵∠ADC=∠AEC

∴∠ADC+∠B

=∠AEC+∠B=180°

∵∠CEB+∠AEC=180°

∴∠B=∠CEB

∴CE=CB

∵CD=CE

∴CD=CB 

参考资料

1.截长补短法（中考数学压轴题分析：截长补短）·环球信息网