正五边形（旋转对称图形）

正五边形

旋转对称图形

正五边形是指五条长度相等的线段，首尾相连构成的一个封闭形状且内角相等的平面图形。正五边形每个角均为108°，每条边长度相等。正五边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形。正五边形的面积公式为：S正五边形=1/4a^2*√﹙25+10√5﹚。

画法

常规画法

(1)已知边长作正五边形的近似画法

①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K。

②取AB的2/3长度，沿着中垂线向上取C点，使CK=2/3AB。

③以点C为圆心，已知边长AB为半径画弧，分别与前两弧相交于M，N。

④顺次连接A，B，N，C，M各点即近似作得所要求的正五边形。

(2)民间口诀画正五边形

口诀介绍：“九五顶五九,八五两边分”。

画法:

①画线段AB=20mm。

②作线段AB的垂直平分线l，垂足为G。

③在l上连续截取GH，HD，使GH=9.5/5*10mm=19mm，HD=5.9/5*10mm=11.8mm。

④过H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。

⑤连结DE，EA，AB，BC，CD。

五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形。

尺规作图画法

理论依据：cos36°=(1+√5)/4

1. 在平面内作一圆，圆心为O；

2. 在圆O上取一点A，连接AO并延长交圆O于另一点B；【假令|AB|=4】

3. 过点O作CD⊥AB，交圆O于C、D两点；【此时|CD|=4】

4. 作OB垂直平分线MN，交OB于E点，交圆O于M，N【此时|OE|=|BE|=1】

5. 以点E为圆心，EC长为半径作弧，交BO延长线于点F；

【此时|EC|=|EF|=√5】

6. 以点B为圆心，BF长为半径作弧，交圆O分别于G、H两点；【此时|BF|=|EF|+|BE|=1+√5】

【此时可知cos∠ABG=(|EF|+|BE|)/|AB|=(1+√5)/4=cos36°】

【而∠AOG=2∠ABG=72°=360°/5(直径所对的圆周角)】

【此时便得到了圆周上的五等分点的其中两个。。。。。】

7. 以点G为圆心，GA长为半径作弧，交圆O于P点；

8. 以点H为圆心，HA长为半径作弧，交圆O于Q点；

9. 连接AG、GP、PQ、QH、HA,则五边形AGPQH为正五边形。

圆内接正五边形

圆内接正五边形的定义与性质

圆内接正五边形指内接于圆的正五边形。圆内接正五边形的每一条边相等（即圆的每一条弦相等），每个角均为108°，每个角在圆内所对的优弧相等。

圆内接正五边形的尺规作图

（1）以O为圆心，定长R为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和AP.（2）平分半径ON，得OK=KN.（3）以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正五边形的边长.（4）以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形。

正五边形的内角和求法

因为五边形的内角和可看为3个三角形的内角和，所以，3×180°=540°；

正五边形的内角求法

据上一条“正五边形的内角和求法”可知道，正五边形的内角和为540°。

往下拓展：因为正五边形的五个角均相等，且五边形的内角和为540°；

所以正五边形的每个内角均为540°÷5=108°。

参考资料

1.正五边形详细资料大全·历史新知网