圆的标准方程（数学中的方程）

圆的标准方程

数学中的方程

圆的标准方程，(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件，根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组。圆的标准方程中(x－a)^2+(y－b)^2=r^2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。⑴当(x1－a)^2+(y1－b)^2>r^2时，则点P在圆外。

确定圆方程的条件

圆的标准方程中(x－a)^2+(y－b)^2=r^2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：

根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)^2+(y－b)^2=r^2；

根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。

圆的标准方程-方程的推导

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b)点P(x,y)是圆上任意一点。

因为圆是所有到圆心的距离等于半径的点的集合。

所以√[(x-a)^2+(y-b)^2]=r

两边平方，得到

即(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

圆的标准方程-圆的一般式方程

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

此方程可用于解决两圆的位置关系

配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4

其圆心坐标：（-D/2,-E/2）

半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2

此方程满足为圆的方程的条件是:

D^2+E^2-4F>0

若不满足,则不可表示为圆的方程

已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（x，

Y）。则有：向量AC*BC=0可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 再整理即可得出一般方程。

圆的标准方程-点与圆的位置关系

点P（X1,Y1)与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：

⑴当(x1－a)^2+(y1－b)^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b)^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b)^2

圆知识点总结

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转一周，留下的轨迹叫圆。

圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

判断步骤

①计算两圆的半径，r1，r2；

②计算两圆的圆心距d；

③根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.

判断公式

若两圆的方程分别为C1：(x－x1)^2+(y－y1)^2=r1^2，C2：(x－x2)^2+(y－y2)^2=r2^2：

则两圆外离r1+r2

两圆外切r1+r2=d；

两圆相交|r1－r2|

两圆内切|r1－r2|=d；

两圆内含|r1－r2|>d.

参考资料

1.圆的标准方程·中公教师网

2.圆的标准方程·学科网