二项式定理（代数恒等式）

二项式定理

代数恒等式

二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

定义

关于二项式n次乘幂展开式的定理,它是最重要的代数恒等式之一。当n=2,即(x+a)2＝x2+2ax+a2;当n=3,即(x+a)3＝x3+3ax2+3a2x+a3。在这些展开式中,首末两项的指数,第二项与倒数第二项的系数都等于指数;总项数等于指数加1。二项式的系数构成杨辉三角*。利用此定理,不经过相应的乘法运算,就可以写出展开式(称为二项展开式)。

历史

二项式定理许多人都不陌生,在初等数学中就对二项式定理有了介绍,它是一种基本的运算。谈到二项式定理的起源,则可以追溯到五六百年之前,古代的欧洲亚洲都对它做过研究。古时候,关于二项式乘方展开,人们就有了朴素的思考,到了近代则逐渐完善着它,如今,在众多领域都能见到二项式定理的广泛应用,如开高次方、等差数列求和等等,并且对微积分的发展起到了至关重要的一步,除了在数学领域,在遗传学、物理学也都有相关应用。

推导过程

组合证法

将乘积

按乘法对加法的分配律展开，直至没有括号

因为每一项都可选a或b，因此（未合并同类项时）共有2n项

显然所有项都是an-rbr（r=0,1,2,...,n）的形式

为了计数形如an-rbr的项的系数，必须从n个a+b中选取n-r个a（从而乘积中其余的r个项都是b）

所以an-rbr的系数是

这就证明了二项式定理

数学归纳法

当然成立

假设n=m时定理成立，即

则n=m+1时

根据组合恒等式

这样便由数学归纳法证明了二项式定理

定理推广

（1）对称性

（2）单峰性

n为偶数时

n为奇数时

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）帕斯卡恒等式

设：

影响及意义

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

这个定理在遗传学中也有其用武之地，具体应用范围为：推测自交后代群体的基因型和概率、推测自交后代群体的表现型和概率、推测杂交后代群体的表现型分布和概率、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率、推测夫妻所生孩子的性别分布和概率、推测平衡状态群体的基因或基因型频率等。

参考资料

1.二项式定理·知网百科

2.二项式定理的起源及其应用·知网