中线定理（欧氏几何的定理）

中线定理

欧氏几何的定理

中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解，昏头昏脑。在不同三角形中，对同一个角用两次余弦定理，比如对图示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用余弦定理，从而直接得到三角形边长的关系，进而得证。

定理简介

中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2倍。

即，对任意三角形△ABC，设是I线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：

AB+AC=2BI+2AI

或作AB+AC=BC/2+2AI

概述

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

证明

中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解，昏头昏脑。下面有四种比较容易理解的方法。

以中点为原点，在水平和竖直方向建立坐标系，

设：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，

则：AD²+CD²=m²+n²+a²

AB²+AC²=(m+a)²+n²+(m-a)²+n²=2(m²+a²+n²)

∴AB²+AC²=2AD²+2CD²

证明方法

中线定理即为斯台沃特定理在中点时的结论，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解，昏头昏脑。

除图示给出的方法外，lonelystar在此给出另外的两种常规证明方法

第一种

以中点为原点，在水平和竖直方向建立坐标系，

设：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，

则：(AD)^2+(CD)^2=m^2+n^2+a^2

(AB)^2+(AC)^2=(m+a)^2+n^2+(m-a)^2+n^2=2(m^2+a^2+n^2)

∴(AB)^2+(AC)^2=2((AD)^2+(CD)^2)

第二种

在不同三角形中，对同一个角用两次余弦定理，比如对图示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用余弦定理，从而直接得到三角形边长的关系，进而得证。

此外，对任意三角形，设是线段的中点，为中线，则有如下关系：

或作

用莱布尼茨标量函数约简，可以容易导出这性质：只需要在两个平方中引入：

得出

是的中点，因此和相反，可知式中两个标积抵消。又因，得出

第三种

或者直接采用勾股定理，过AD点作BC的垂线，垂足为H.

则AD^2=DH^2+AH^2

AB^2=（BD+DH）^2+AH^2

AC^2=（CD-DH）^2+AH^2

∴(AB)^2+(AC)^2=2((AD)^2+(CD)^2)

另一结论

在以上讨论中，通过两式相减，还可以得到|AB^2-AC^2|=2BC×IH。（H为垂足）

参考资料

1.三角形的中线定理·中考网