画法几何（空间几何学科）

画法几何

空间几何学科

画法几何（descriptive geometry）是研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科，也是机械制图的投影理论基础。

在画法几何的学科应用中，有几种方法，分别是投影法、多面正投影图、投影变换、截交线和相贯线、展开图。

简介

画法几何是机械制图的投影理论基础，它应用投影的方法研究多面正投影图、轴测图、透视图和标高投影图的绘制原理，其中多面正投影图是主要研究内容。画法几何的内容还包含投影变换、截交线、相贯线和展开图等。

在工程和科学技术方面，经常需要在平面上表现空间的形体。例如，我们需要在纸上画出房屋或建筑物的图样，以便根据这些图样施工建造。但是平面是二维的，而空间形体是三维的，为了使三维形体能在二维的平面上得到正确的显示，就必须规定和采用一些方法，这些方法就是画法几何所要研究的。

工程实践中不仅要在平面上表示空间形体，而且还需要应用这些表达在平面上的图形来解决空间的几何问题。例如，我们往往需要根据由测量结果而绘制的地形图来设计道路或运河的线路，决定什么地方需要开挖和填筑，以及计算土方等。这些根据形体在平面上的图形来图解空间几何问题，也是画法几何所要研究的。

综上画法几何研究的内容即：

1、研究在二维平面上表达三位空间形体的方法，也就是图示法。 2、研究在平面上利用图形来解决空间几何问题的方法，也就是图解法。

简史

1103年，中国宋代李诫所著《营造法式》中的建筑图基本上符合几何规则，但在当时尚未形成画法的理论。

1763年，里昂学院年轻的物理学教授蒙日，在一次探亲回家的途中，遇见一位搞工程的官员，对方曾看见蒙日16岁时完全凭自己的能力画的一幅有名的地图，他建议蒙日到梅济耶尔的军事学校去。蒙日没有仔细考虑就答应了。到梅济耶尔之后，他很快就知道自己永远得不到军官委任状，因为他出身低微。他只能做实际工作，天天跟踪测量并和制图打交道。不过，他觉得很快活，因为这种工作使他有大量时间研究数学。学校常规课程中很重要的一部分筑城术，其中的关键是把防御工事设计得十分隐蔽，没有任何部分暴露在敌方的直接火力之下，而这往往需要没完没了的的算术运算。有时为了解决问题，只好把已经建成的工事拆毁，再从头开始。精通几何的蒙日在思考如何简化这项军事工程的过程中发明了画法几何。按照他的方法，空间的立体或其他图形就可以由两个投影描画在同一个平面上。这样，有关工事的复杂计算就被作图方法所取代。经过短期训练，任何制图员都能胜任这种工作。蒙日把他的发明呈交给一位高级官员。那人不相信一个繁难的工事问题能够得到解答，于是就审查。蒙日继续坚持，说他没有用算术。官员只好让步。审查结果发现，他的解答是正确的。蒙日立刻得到一个小小的教学职位，任务是把这个新方法教给未来的军事工程师们。他被要求宣誓不泄露他的方法，画法几何因此作为一个军事秘密被小心翼翼地保守了15年之久，到1794年蒙日才得到允许在巴黎师范学院将之公诸于世。没有蒙日最初为军事工程作的发明，19世纪机器的大规模出现也许是不可能的。画法几何是使机械工程成为现实的全部机械制和图解方法的根源。

1799年法国学者G.蒙日发表《画法几何》一书，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础。以后各国学者又在投影变换、轴测图以及其他方面不断提出新的理论和方法，使这门学科日趋完善。

机械制图

是研究机械图样绘制理论和方法的学科。图样由图形、符号、文字和数字组成，它确切表示了机械的结构形状、尺寸大小、工作原理和技术要求，是机械设计过程中的重要技术资料，是人们在生产活动中表达和交流思想的重要工具，常被称为工程界的语言。机械制图的理论基础是画法几何的投影理论，其主要部分是应用正投影理论来研究机器零件、部件的表示方法。

机械制图的主要内容包括制图一般规定、视图的种类、配置和画法、尺寸标准及编写技术要求等部分，并且都有相应的国家标准。

机械制图的一般规定包括图纸幅面及格式、图样比例、字体和图线等。图纸的基本幅面有6种 (0～5号)，并可按规定加长或加宽，图框及标题栏都有严格规定的格式。比例是指图形与机件实际尺寸之比，通常采用 1：1，但也可按规定的比例放大或缩小。中文字体手书时要求用长仿宋体。线型有粗实线、细实线、细点划线等8种，分别用于不同的情况。例如粗实线表示可见轮廓线或可见过渡线，细点划线可以表示轴线或对称中心线等。

视图通常是按正投影法绘制，我国制图标准规定采用第一角画法，即机件位于观察者和投影面之间，有主视图、俯视图和左侧视图等。英、美等国多采用第三角画法，即投影面位于机件和观察者之间 (如图2)，有主视图、俯视图和右侧视图。为了完整地表达机件，还有剖视图、剖面、斜视图及局部视图等。机械制图标准还规定了螺纹、弹簧、花键、齿轮等零件或结构的专门画法。在装配图中还允许对某些标准件，例如滚动轴承，采用简化画法，以提高制图效率。图样的种类有零件图、装配图、布置图、示意图和轴测图等。轴测图是一种立体图，直观性强，是常用的辅助用图。

图样是按一定比例绘制的，在机械加工中须严格按尺寸加工，不允许从图样中量取，机件的尺寸用尺寸线、尺寸界线和箭头指明所标注的范围，用数字表示尺寸的大小。对直径、半径、锥度、斜度和角度还应在数字前加注专用符号，例如用φ表示直径。图样中的技术要求包括公差配合、形位公差、表面粗糙度、材料及热处理等。

图样的绘制和复制技术在近代得到了飞速的发展。20世纪60年代出现了计算机绘图技术，与计算机辅助设计相配合，将设计的机件或零件以程序形式输入计算机系统，即可控制自动绘图仪，输出所需要的图样。现代已经可以直接使用设计图用静电复印机复制成透明底图或蓝图; 也可以用微缩技术将设计图保存在特制的胶片上，随时可以调出放大并复制成所需要的大小的蓝图。

方法

投影法

投影法是从光线照射空间形体在平面上获得阴影这一物理现象而来的。以光源S点为投影中心，S点与形体上某个A点的连线SA为投影线（即光线）,显现阴影的P平面为投影面，SA投影线与P平面的交点ɑ就是A点在投影面上的投影。依此方法作出形体上其余点、线的投影，便得到形体在投影面上的投影。这种投影法因所有投影线都经过投影中心S点,故称为中心投影法。若S点移向无限远处,即所有投影线都互相平行时，则称为平行投影法。平行投影法又按投影线是否垂直于投影面分为斜投影法。 用中心投影法可以得到透视图，用平行投影法可以得到轴测图，这两种图的立体感都很好。为显示形体的立体形象，在建筑工程中常使用透视图，在机械工程中常使用轴测图。用正投影法将空间形体（一般是地形或曲面）投影到水平放置的投影面上，并在相应点、线的投影旁加注它们到投影面的高度数值，这种图称为标高投影图。它应用在地形测量、土木、水利、地质和采矿等工程中。以上3种图都是单面投影图。用空间形体的几个正投影联合表达其形状和位置的图称为多面正投影图。这种图广泛应用在各项工程中。

多面正投影图

空间形体具有长、宽、高三个方向的形状大小，但它的投影只能反映两个方向的形状大小。为确切和全面地表达空间形体，必须采用多面正投影图。

取互相垂直的两个投影面（正立投影面和水平投影面）,用正投影法分别作出空间形体在正面和水平两个投影面上的投影（图2中黑色图形部分）。再将水平投影面绕两投影面的交线OX向下旋转90°，使它和正立投影面处在同一平面上，则得到空间形体的二面正投影图。在二投影面的基础上增加一个与正立投影面和水平投影面都垂直的侧立投影面,再作出形体的侧面投影（图2中颜色图形部分），然后将侧立投影面绕它和正立投影面的交线OZ向右旋转90°，使它也与正立投影面处在同一平面上即可得到空间形体的三面正投影图。多面正投影图可以确切地表达空间形体的形状和位置。特别是当形体上直线、平面等处在与投影面平行或垂直的某个特殊位置时，还能在其投影中反映出平面图形的实际形状，以及线、面或两面间夹角的真实大小。对于不处在特殊位置的线和面，就不具有上述特征，这时需要采用投影变换的方法解决。

投影变换

投影变换是通过改变空间形体和投影面的相对位置使问题得以解决的新投影方法。投影变换主要有换面法和旋转法。

①换面法：空间形体不动，用新的符合解题要求的投影面来替换原有的投影面，得出空间形体新的投影。例如,在图3中，三角板在采用换面法前与正立投影面倾斜，与水平投影面垂直，它的正立、水平两个投影都不反映三角板的真实形状。改用垂直于水平投影面并平行于三角板的新投影面来替换原有的正立投影面，则在新投影面和水平投影面的二面正投影图中便反映出三角板的真实形状。换面法的变换规律是：点的新投影到新投影轴的距离等于点的被替换投影到被替换轴的距离。

②旋转法：保持投影面不动，让空间形体绕某条轴线旋转到需要的位置,求出新的投影。例如，若将三角板绕其本身的垂直于水平投影面的直角边旋转到与正立投影面平行的位置，这时新的正立投影就能反映三角板的真实形状。

截交线和相贯线

平面与空间形体表面的交线称为截交线，两空间形体表面的交线称为相贯线。在很多情况下虽然能根据空间形体和投影面的相对位置作出空间形体的多面正投影图，但它们之间的截交线和相贯线却不能直接画出，需要借助于辅助面法或其他作图方法画出。

展开图

将空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形称为展开图。对于用板料制作的零件，除需要用多面正投影图表示零件的形状外，还常用展开图表示零件制作前板料的形状。依据空间形体的多面正投影图绘制其展开图，实质上就是求取其表面的真实形状，这可以通过图解或计算的方法得到。

学习须知

学习方法

1、画法几何是按点、线、面、体，由简及繁、由易到难的顺序编排的，前后联系十分紧密。学习时必须对前面的基本内容真正理解，基本作图方法熟练掌握后，才能往下做进一步的学习。

2、由于画法几何研究的是图示法和图解法，涉及到的是空间形体与平面图形之间的对应关系，所以，学习时必须经常注意空间几何关系的分析以及空间几何元素与平面图形的联系。对于每一个概念、每一个原理、每一条规律、每一种方法都要弄清楚它们的意义和空间关系，以便掌握这些基本内容并善于运用它们。

3、复习时不能单纯阅读课本，必须同时用直尺和圆规在纸上进行作图。还可以借助铁丝、硬纸板等物品做一些简单的模型，帮助理解书上所讲的内容和习题。书上的例题在通过自己的作图并获得正确的结果后，才能验证是否真正理解并记住这些作图方法。

4、解题时，首先要弄清哪些是已知条件，哪些是需要求作的。然后利用已学过的内容进行空间分析，研究怎样从已知条件获得所要求作的结果，要通过哪些步骤才能达到最后的结果。初学时可以把这些步骤记录下来。最后利用基本作图方法按照所确定的解题步骤一步步地进行作图，作图时力求准确。完成后还应做一次全面的检查，看作图过程有没有错误，作图是否精确等。

学习要求

由于画法几何所研究的是空间形体与它在平面上的图形之间的关系，因而在培养和发展学生对三维形状和相关位置的空间逻辑思维和形象思维能力方面起着极其重要的作用。

在这里，图形是直接用来研究空间形体的几何形状和解决空间几何问题的工具，因此，对画法几何在平面上的图形有一系列的要求。主要有：

1、图形应当具有可逆性，也就是说，根据图形能够准确地恢复所画形体的形状和大小

2、图形在满足其功能的前提下具有一定的直观性，以便根据图形能比较容易地想象出所画的形体的形状和大小

3、绘制图形应较为简便

4、图形以及由之进行的作图应足够准确

上述对图形的要求，有时可能有矛盾，这就应根据图形所要满足的条件来确定采用哪种图示方法

参考资料

1.画法几何及土木工程制图·中国大学MOOC

2.画法几何视频教程·大学生自学网