循环小数（数学术语）

循环小数

数学术语

循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。

循环小数

循环小数英文名：circulatingdecimal

两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。

从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（循环小数），20.333333…（循环小数）等，被重复的一个或一节数字称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。例如： 

2.966666...缩写为2.96（6上面有一个点；它读作“二点九六，六循环”）

35.232323…缩写为35.23（2、3上面分别有一个点；它读作“三十五点二三，二三循环”）

循环小数可以利用等比数列求和（附链接：等比数列）的方法化为分数。例如图中的化法。

所以在数的分类中，循环小数属于有理数。

例如

循环小数的问题中，最著名的是0.999…是否等于1的问题。[2]代数方法为：

证明:

假设X=0.999...

∵10X = 9.999...

10X-X=9.999...-0.999...

即9x = 9

∴x = 1

混循环

将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.

例如：　0.1234=(1234-1)/9990 0.558898=(558898-55)/999900

循环小数化分数

纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999

注意

有限小数的小数位数是有限的

循环小数的小数位数是无限的

参考资料

1.循环小数化分数计算器·九九参考计算网