刘维尔定理（物理定理）

刘维尔定理

物理定理

在物理学中，刘维尔定理（Liouville's theorem）是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。

发展简史

把相点的集合看作流体，并结合哈密顿正则方程和连续性方程推导出刘维尔定理。从这样的角度可以很直观地看待刘维尔定理的意义——相点集合的运动是不可压缩流体的运动。在物理学中，刘维尔定理（Liouville's theorem）是经典统计力学与哈密顿力学中的关键定理。该定理断言相空间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。

它以法国数学家约瑟夫·刘维尔命名。这也是辛拓扑与遍历论中的有关数学结果。

定理定义

如果整函数在整个平面上有界，即对所有满足不等式，则必为常数。可简单描述为：一个有界的整函数必是常函数。

注：(1)定理内容在实数范围内不成立；(2)定理的逆命题成立，即常数是有界常函数。

定理推广

圆锥区域中变系数抛物型微分不等式及其耦合不等式组的刘维尔型定理。先给出弱解的定义，再利用构造试验函数法建立不依赖于初始值的解的一般估计，最后得到非负非平凡整体弱解在适当的临界指数范围内不存在的结论，此种方法的主要特点是不用比较原理和极值原理。

验证推导

设是平面上任一点，对以为中心，任意正数为半径的圆周，利用柯西不等式，得：

而且，由于可以任意大，所以，必有，即，由于点是任意的，故必为常函数。

定理意义

⑴揭示了解析函数的一个性质．⑵提供了一种证明解析函数为常数的方法．不仅如此,利用该定理还可以证明代数基本定理。

参考资料

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