卡拉比猜想（几何学猜想）

2023-12-21 26阅读

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卡拉比猜想

几何学猜想

卡拉比猜想源于代数几何，是由意大利著名几何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的：在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场。卡拉比认为是存在的，可是没有人能证实，包括卡拉比自己。这个猜想的陈类为负和零的情况被美籍华裔数学家丘成桐证明，并因此在1982年获得数学界的“诺贝尔奖”——菲尔兹奖，是第一个获得该奖的华人数学家。

背景

20世纪50年代是几何与拓扑学最辉煌的时代。一批年轻的数学家证明了一系列伟大的数学定理，开天辟地，创造了一个崭新的时代。他们与他们的定理一起，熠熠生辉，照亮了整个数学的历史。

卡拉比（Calabi）猜想在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。

1941年的霍奇（Hodge）理论刚刚由魏尔（Weyl）和小平邦彥（Kodaira）整理完成。1945年陈省身引进的陈示性类由希策布鲁赫（Hirzebruch）发扬光大，证明了拓扑中的符号差定理与代数几何中的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。工程师出身的博特（Bott）证明了他不朽的同伦群周期性定理。这些结果很快激发出了Atiyah-Singer指标定理。塞尔（Serre）用勒雷（Leray）的谱序列计算了代数拓扑中球面的同伦群，用层论写下了代数几何名篇GAGA，将复分析系统地引入代数几何。Kodaira证明了他著名的嵌入定理，发展了复流形的形变理论。稍后，米尔诺（Milnor）发现了七维怪球，纳什（Nash）证明了黎曼（Riemann）流形的嵌入定理。这些伟大的数学家与他们的定理，如繁星闪耀在天空，令人目不暇给。

1954年的国际数学家大会，菲尔兹（Fields）奖的获奖者是小平邦彥（Kodaira）和塞尔（Serre），他们的主要获奖工作都是将复分析、微分几何与代数几何完美地结合在一起。正如魏尔（Weyl）在他的颁奖词中所说：“他们的成就远远超越了他年轻时的梦想，他们的成就代表着数学一个新时代的到来。”

也是在这届数学家大会上，31岁的意大利裔数学家卡拉比，在会议的邀请报告中用一页纸写下了他著名的猜想。

提出

31岁的意大利裔数学家卡拉比，在会议的邀请报告中用一页纸写下了他著名的猜想：令M为紧致的卡勒（Kahler）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式R，都存在唯一的一个卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明方案，并证明了，如果解存在，那必是唯一的。

但3年后，在1957年的一篇关于Calabi-Yau流形的几何结构的文章中，他意识到这个证明根本行不通。这里需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作复的Monge-Ampere方程。他去请教20世纪最伟大的数学家之一的魏尔（Andre Weil）教授。魏尔说：“当时还没有足够的数学理论来攻克它。”

众所周知，庞加莱（Poincare）著名的单值化定理告诉我们，一维复流形的万有覆盖只有简单的三种，球面、复平面和单位圆盘。如何将单值化定理推广到高维流形，这个问题几乎主导了现代几何与拓扑的发展。而即使从复一维到复二维流形，问题的复杂性已经远超想象，被数学家称作是从天堂到了地狱。或者说是上帝创造了黎曼面，简单美丽而又丰富多彩，是魔鬼制造了复曲面，内容复杂，令人眼花缭乱，头晕目眩。卡拉比猜想可以认为是单值化定理在高维不可思议的大胆推广，竟然给出了高维复流形中难得一见的一般规律。特别的是它在复卡勒流形的第一陈类大于零、等于零和小于零三个情形，指出了Kahler-Einstein度量的存在性，即此度量的第一陈形式等于其卡勒形式。这恰好对应于黎曼面三种单值化的推广。

要知道，当时人们知道的爱因斯坦流形的例子都是局部齐性的，甚至都不知道复投影空间中的超曲面，如K3曲面上，是否有爱因斯坦度量。在这样一种情况下，卡拉比竟然做出如此大胆的猜测，可见其胆识过人，也难怪此后多数几何学家都怀疑此猜想的正确性，许多人都在努力寻找反例，而不是证明它。正如庞加莱的单值化定理，霍奇定理需要经过数年，乃至数十年努力才得到完美的证明一样，卡拉比猜想也在数学界的期盼中，等待着它真正的王者到来，这一等就是21年。

证明

丘成桐与卡拉比先生

1957年，5岁的丘成桐正在世界的另一端过着清贫的生活，那时的香港几乎没有人知道什么是微分几何。14岁时父亲的去世，更令他饱尝人间冷暖，也造就了他不屈不挠的性格。11年后他进入香港中文大学，1969年，大学三年级的他便负笈求学来到伯克利（Berkeley)。那一年，著名的几何学家伍鸿熙教授在给另一位著名几何学家格林（Greene）的信中，预言这个19岁的年轻人将会改变微分几何的面貌。很难知道伍鸿熙教授如何看出了一个19岁年轻人不同寻常的王者之气。

读研究生的第一年，丘成桐初试身手，便解决了微分几何中一个有关负曲率流形基本群的结构问题，事后他才知道这就是微分几何中著名的沃尔夫猜想。这一点颇像米尔诺（Milnor）把扭结理论里的猜想当成家庭作业完成一样。当遇到卡拉比猜想后，他像是见到了美丽的天使，一见钟情。此后童话般的故事人人皆知，其中的痛苦与快乐也只有丘成桐自己才能体会。后来他告诉所有人，他成功的诀窍是用苦功而非天才，他曾尝试过近五千个实验函数，来发展流形上梯度估计的技巧。所以我们知道，一只苹果掉到头上，令牛顿豁然开朗地发明了微积分，那只是个传说。

为了解决卡拉比猜想，他需要系统地创建和发展流形上的非线性分析，特别是Monge-Ampere方程的理论、方法与技巧。他先与郑绍远合作，用实的Monge-Ampere方程解决了著名的闵可夫斯基（Minkowski）猜想和闵可夫斯基时空中的伯恩斯坦（Bernstein）问题，此后再将他自己发展的梯度估计技术发挥到极致，终于在1975年完全解决了卡拉比猜想。

此时此刻，除了丘成桐，最高兴的应该是卡拉比，从1954年到1975年，整整21年的梦想终于成为了现实！那一年的圣诞节，他、丘成桐和尼伦伯格（Nirenberg）一起在纽约的Courant研究所度过，整天就是讨论丘成桐的证明。卡拉比猜想终于成为了Calabi-Yau定理！