丢番图方程（变量仅容许是整数的多项式等式）

丢番图方程

变量仅容许是整数的多项式等式

丢番图方程（Diophantine Equation）：有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；

定义

丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如下图的方程，其中所有的、和c均是整数，若其中能找到一组整数解者则称之有整数解。

丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。

解丢番图方程由于没有一个一般的方法，因而它向人类的智慧提出了挑战。有一些看上去简单的方程，但解决起来却相当困难。

3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。

丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等。

历史概述

丢番图方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组(变量的个数大于方程的个数)或不定方程式(两个变数以上)。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。

研究不定方程要解决三个问题：1.判断何时有解。2.有解时决定解的个数。3.求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。

丢番图生平

代数之父─丢番图（Diophantine）是一位古希腊的大数学家，为第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。其中丢番图最著名的可能就是他的墓志铭了：

「坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。

我们可以从中知道：“丢番图的一生，幼年占1/6，青少年占1/12，又过了1/7才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半。”计算丢番图的方程为X/6+X/12+X/7+5+X/2+4=X，X=84，由此知道丢番图享年84岁。

分析

希尔伯特第十问题

1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（Matiyasevich's theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式是否有解，甚至，在任何相容于皮亚诺算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。

现代研究

*丢番图集是递归可枚举集。

*常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。

*丢番图逼近研究了变量为整数，但系数可为无理数的不等式。

小学分式解法

丢番图是一个人，他的生命是一个整体1

他的生命一共经历了以下一些关键点：

1/6、1/12、1/7、5年、1/2、4年，然后他死了

1/2是怎么得来的呢？因为他的孩子出生后，到他的孩子死了的这段时间，占丢番图生命的一半，所以这段时间记为1/2，

综上所述，他的生命一共由1/6+1/12+1/7+1/2和9年组成，那么问题很简单了，就是你要知道这9年占据他一生的几分之几呢？

当然是1-(1/6+1/12+1/7+1/2)

因为从一开始就说了，丢番图的生命是一个整体1

所以他的年龄有多大呢？反过来，就是

9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）

对括号里面的分式进行通分，很简单就解出来了

明白了吗？9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）=9除以（9/84），当然是84岁了。

参考资料

1.德国数学家德国希尔伯特生平简介 希尔伯特23个数学难题分别是什么?·趣历史