二阶导数（数学名词）

二阶导数

数学名词

二阶导数是一阶导数的导数。从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性。

定义

以导数定义法定义：如果函数的导数在处可导，则称的导数为函数在点处的二阶导数，记为。

以极限定义法定义：函数在xo处的二阶导数是导函数在xo处的导数，即

物理意义

以物理运动为例，我们知道，变速直线运动的速度是位置函数对时间的导数，即

这种导数的导数或称为对的二阶导数，记作

所以，直线运动的加速度就是位置函数对时间的二阶导数。

几何意义

切线斜率变化率

据导数的几何意义，二阶导数按极限形式

可直接理解为曲线的切线斜率的变化率，也就是切线斜率的平均变化率。

凹率

凹率可以认为是二阶导数的几何本质。

据曲线的凹凸性，时，曲线在a点上凹；时，曲线在a点下凹。

如果规定曲线在a点上凹为正，下凹为负（以下均如此设定），则凹向的正负就与的正负一致，的正负就表示曲线在a点上凹的正负。

抛物线的凹率与焦准距

对于抛物线

其导函数为：

则二阶导数为，称2a为整个抛物线的凹率。

抛物线经平移可得原点为顶点的标准抛物线，参数a不变，标准抛物线方程，其中p为焦准距，定义焦准距为焦点与准线的纵坐标差，则抛物线的焦准距。

例题

设，求和。

解：用导数定义求解：

参考资料

1.也谈二阶导数的应用·中国知网

2.二阶导数的几何意义·中国知网