隔板法（组合数学的方法）

隔板法

组合数学的方法

在组合数学中，隔板法（又叫插空法）是排列组合的推广，主要用于解决不相邻组合与追加排列的问题。隔板法必须满足三个条件：这n个元素必须互不相异；所分成的每一组至少分得一个元素；分成的组别彼此相异。

基本内容

隔板法主要针对的是相同元素的不同分堆问题，可以看成在n个元素间插入（b-1）个板，即把n个元素分成b组的方法。

允许若干个人（或位置）为空的问题

例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？

分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法。

解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理，那就人为的再加上3个小球，保证每个盒子都至少分到一个小球，那就符合隔板法的要求了（分完后，再在每组中各去掉一个小球，即满足了题设的要求）。然后就变成待分小球总数为23个，球中间有22个空档，需要在这22个空档里加入2个隔板来分隔为3份，共有C(22，2)=231种不同的方法。

点评：对n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n件物品分成m组，允许若干组为空的问题.将n件物品分成m组，需要m-1块隔板，将这n件物品和m-1块隔板排成一排，占n+m-1位置，从这n+m-1个位置中选m-1个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有Cn+m-1 m-1种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有Cn+m-1 m-1×1=Cn+m-1 m-1种排法。

水果分篮问题

例2：有广西橘子，烟台苹果，莱阳梨若干，从中随意取出四个，问共有多少种不同取法？

问题等价于有四个水果篮，将其分为三组向里面加入不同水果，且允许篮子为空。

分为三组需要2个隔板，将水果篮与隔板并排，隔板共有4+2个放置位置，故有C(4+2)，2个选择，即15种。

每人（或位置）必须有物品问题

例3将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？

分析：本题是名额分配问题，用隔板法。

解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有C19、17种不同的放法，根据分步计数原理，共有C19、17种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有Cm-1 n-1种分法。

对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握。

参考资料

1.如何理解数学排序中隔板插空法,并举例说明？ 隔板法分配对象允许空·爱永伴亲子

2.数量关系：得“一”而万事毕——隔板法·中公教育