一笔画问题（数学术语）

一笔画问题

数学术语

传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。

一个图能否一笔画成需要满足以下条件：先根据图的邻接矩阵求出每个顶点的度数。如果没有度数为奇数的顶点，则可以从任一点开始一笔画成一个图。如果有两个度数为奇数的顶点，则可从这两个奇数顶点中的任一点开始一笔画成一个图。如果度数为奇数的顶点超过两个，则这个图不能够一笔画出。

解析

众所周知的"哥尼斯堡城'七桥问题'"被大数学家欧拉开创了数学新分支-----图论。也就是"一笔画"。一笔画图形的必要条件是:奇点数目是0或者2。图⑴的"七桥问题"A,B,C,D都是奇节点，数目是4，所以不能够"一笔画"。我们把节点转换回来，成为"节面"(区域)，来考虑"一笔画"。

一，在平面中，4个或者4个以下的区域可以构成两两相连的区域，可以一笔画。图⑵。每个区域必须是单连通的，就是一个区域不能够是分成2块或者2块以上。图⑶就不是单连通的。这是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有两两相同的5个区域。

二，紧致封闭平面，在一个轮胎状的表面，7个或者7个以下的区域可以构成两两相连的区域。可以"一笔划"。把图(A)上下对折以后，再左右对折，形成一个轮胎状，7个区域两两相连

上下对折再左右对折成轮胎形状图A

上下对折再左右对折成轮胎形状图A

(国外数学家给出).两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。P。J希伍德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出一个推测:在有P>1个洞的封闭曲面上，足以为任何地图着色的最小数等于(左图上下对折再左右对折就是一个轮胎，7个区域两两相连，可以一笔画)

Np=，其中表示整数部分，

三个洞的封闭曲面

P=1,M1=7，即图(A).

克莱因瓶也只能7色，而不是8色。三，德国数学家G.林格证明了:足以为任何一张有P>1个洞的封闭曲面着色的真正最小色数Np，Np-Mp《2，以后美国数学家VT杨斯进一步证明了Np-Mp《1，而希伍德的假设对于不同球面几乎一切封闭曲面都是成立的，1974年，林格作出了完整的证明。例如，两个洞的封闭曲面应该是M2==8，能够作8色。(见左图)王晓明王蕊珂经过9年杜撰。

四，如果我们不限定形态

三个洞的封闭曲面M三个3==9，能够作9色四个洞10个区域两两相连一笔画

五，图D.这是有4个洞的10个两两相连区域图，下面四叉按照ABCD对应。

数学家欧拉找到一笔画的规律是:

⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能

图B的平面图

图B的平面图

以这个点为终点画完此图。

⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

⒊其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。)

比如附图:(a)为⑴情况，因此可以一笔画成;(b)(c)(d)则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。

相关名词含义

◎顶点与指数:设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。

◎奇顶点:指数为奇数的顶点。

◎偶顶点:指数为偶数的顶点

规律证明

先定义能一笔画出并回到起点的图为欧拉图，连通就是说任意两个节点之间可以找到一条连接它们的线。这个要求看来很重要，直观方法中与这一点对应的是说原图本身不能是分成多个的

证明

设G为一欧拉图，那么G显然是连通的。另一方面，由于G本身为一闭路径，它每经过一个顶点一次，便给这一顶点增加度数2，因而各顶点的度均为该路径经历此顶点的次数的两倍，从而均为偶数。反之，设G连通，且每个顶点的度均为偶数，欲证G为一欧拉图。为此，对G的边数归纳。当m=1时，G必定为单结点的环，显然这时G为欧拉图。设边数少于m的连通图，在顶点度均为偶数时必为欧拉图，现考虑有m条边的图G。设想从G的任一点出发，沿着边构画，使笔不离开

图且不在构画过的边上重新构画。由于每个顶点都是偶数度，笔在进入一个结点后总能离开那个结点，除非笔回到了起点。在笔回到起点时，它构画出一条闭路径，记为H。从图G中删去H的所有边，所得图记为G'，G'未必连通，但其各顶点的度数仍均为偶数.考虑G的各连通分支，由于它们都连通，顶点度数均为偶数，而边数均小于m，因此据归纳假设，它们都是欧拉图。此外，由于G连通，它们都与H共有一个或若干个公共顶点，因此，它们与H一起构成一个闭路径。这就是说，G是一个欧拉图。

折叠一笔画定理

1736年，欧拉证实:七桥问题的走法根本不存在。同时，他发表了"一笔画定理":一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件，即图形是封闭联通的和图形中的奇点(与奇数条边相连的点)个数为0或2。

欧拉的研究开创了数学上的新分支――拓扑学的先声。

欧拉定理

七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。

参考资料

1.一笔画问题·中国知网