对偶式（数学术语）

对偶式

数学术语

在逻辑代数中的对偶式：如果将逻辑函数表达式F中所有的“·”变成“+”，“+”变成“·”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，并保持原函数中的运算顺序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数F的对偶式，并记作F'。例如，F=AB+B(C+0)F'=(A+B)(B+C·1)，从例子可以看出，如果F的对偶式是F'，则F'的对偶式就是F。即，F和F'互为对偶式。

定理

在命题逻辑中的对偶式：在仅含有联结词与（∧）、或（∨）、非（┐）的命题公式A中，将∨换成∧，∧换成∨，若A中还含有0或1，则还需将其中的0换成1，1换成0，，所得到的新命题公式A*就是A的对偶式。例如，命题公式A=┐(P∧0)的对偶式A*=┐(P∨1)。

定理1：A和A*是互为对偶式，P，P2，...，Pn是出现在A和A*的原子变元，则┐A(P，...，Pn)<=>A*┐P，...┐Pn)；A(┐P，...Pn)<=>┐A*(P，...，Pn)；即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。例子：DeMorgan定律┐(P∧Q)=┐P∨┐Q。

定理2:设A*，B*分别是A和B的对偶式，如果A<=>B，则A*<=>B*。这就是对偶原理。如果证明了一个等值公式，其对偶式的等值同时也立。可以起到事半功倍的效果。

在离散数学中，任一命题公式的主析取范式和它的主合取范式互为对偶式。

解题

形如A+B与A-B，A/B与B/A，等成对的式子;称为对偶式。有一类题充分利用对称性原理,通过构造对偶式来解题,达到一曲径求捷的解题效果。

参考资料

1.例说对偶式·知网空间