球坐标系（确定三维空间中点线面及体的位置）

球坐标系

确定三维空间中点线面及体的位置

球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。

详述

例解

假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0,+∞)，φ∈[0,2π]，θ∈[0,π]，如图1所示。当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r=常数，即以原点为心的球面；θ=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ=常数，即过z轴的半平面。

与直角坐标系间的转换

1).球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:

x=rsinθcosφ

y=rsinθsinφ

z=rcosθ

2).反之,直角坐标系(x,y,z)与球坐标系(r,θ,φ)的转换关系为:

r=sqrt(x*2+y*2+z*2);

φ=arctan(y/x);

θ=arccos(z/r);

球坐标系下的微分关系

在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：

dl(r)=dr,dl(θ)=rdθ,dl(φ)=rsinθdφ

球坐标的面元面积是：

dS=dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdθdφ

体积元的体积为：

dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ

参考资料

1.球坐标与二元函数的基本概念·中国中心