正交分解(物理力学的求解方法)

2023-07-10 31阅读

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正交分解

物理力学的求解方法

高中物理力学的一种求解方法。全称为“力的正交分解”。从力的矢量性来看,是力F的分矢量;从力的计算来看,力的方向可以用正负号来表示,分量为正值表示分矢量的方向跟规定的正方向相同,分量为负值表示分矢量的方向跟规定的正方向相反.这样,就可以把力的矢量运算转变成代数运算.所以,力的正交分解法是处理力的合成分解问题的最重要的方法,是一种解析法。特别是多力作用于同一物体时。它是力的合成的逆运算。

中文名 正交分解
外文名 orthogonal decomposition
表达式 正负号
应用学科 高中物理力学
适用领域范围 力学

概述

坐标建立

1介绍:高中物理力学的一种求解方法。全称为“力的正交分解”。

2定义:将一个力分解为FX和FY两个相互垂直的分力的方法,叫作力的正交分解。

3它是力的合成的逆运算。

合力步骤

第一步,选定研究对象.并以质点的形式对进行表示。

第二步,对选定的研究对象进行受力分析。

第三步,建立直角坐标系.一般来讲在水平面内可以任意建立坐标系,但是在斜面上最好沿物体下滑的方向建立x轴,然后建立Y轴。

第四步,分析加速度方向。必要时也可将加速度进行正交分解,以便于做题。

第五步,表达合外力。

第六步,列出X方向,与Y方向上的牛顿第二定律方程。

第七步,若需其他方程,也要列出需要的方程,然后求解。

第八步,检验是否符合实际情况。(比如力为负的不可取)

目的原则

把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解叫力的正交分解法,在多个共点力作用下,运用正交分解法的目的是用代数运算公式来解决矢量的运算.在力的正交分解法中,分解的目的是为了求合力,尤其适用于物体受多个力的情况,物体受到F1,F2,F3…,求合力F时,可把各力沿相互垂直的x轴,y轴分解,则在x轴方向各力的分力分别为 F1x,F2x,F3x…,在y轴方向各力的分力分别为F1y,F2y,F3y….那么在x轴方向的合力Fx=F1x+F2x+F3x+…,在y轴方向的合力Fy=F1y+ F2y+ F3y+…合力,设合力与x轴的夹角为θ,则.在运用正交分解法解题时,关键是如何确定直角坐标系,在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则;在动力学中,以加速方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标,这样使牛顿第二定律表达式为:F=ma

典型例题

例1:物体放在粗糙的水平地面上,物体重50N,受到斜向上方向与水平面成30°角的力F作用,F = 50N,物体仍然静止在地面上,求:物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少。

解析:对F进行分解时,首先把F按效果分解成竖直向上的分力和水平向右的分力,对物体进行受力分析F的效果可以由分解的水平方向分力Fx和竖直方向的分力Fy来代替.则:

由于物体处于静止状态时所受合力为零,则在竖直方向有:Fy=Fsin30°则在水平方向上有:Fx=Fcos30°。

例2:一物体放在倾角为θ的光滑斜面上,求使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力。

解析:使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力都是由重力引起的,把重力分解成两个互相垂直的两个力,其中F1为使物体下滑的力,F2为物体压紧斜面的力,则:

点评:F1和F2是重力的分力,与重力可以互相替代,但不能共存。

拉力F作用在重为G的物体上,使它沿水平地面匀速前进,若物体与地面的动摩擦因素为μ,当拉力最小时和地面的夹角θ为多大

解析:选取物体为研究对象,它受到重力G,拉力F,支持力N和滑动摩擦力f的作用,根据平衡条件有:

解得。

设,则,代入上式可得:

当时,此时F取最小值。

拉力取最小值时,拉力与地面的夹角

点评:这是一个和数学最值知识相结合典型例题,同学们可以通过本题体会和总结用数学知识解决物理问题的方法,逐步建立数学物理模型。

例3:大小均为F的三个力共同作用在O点,F1,F2与F3之间的夹角均为60°,求合力。

解析:此题用正交分解法既准确又简便,以O点为原点,F1为x轴建立直角坐标;

⑴分别把各个力分解到两个坐标轴上。

⑵然后分别求出x轴和y轴上的合力。

⑶求出Fx和Fy的合力既是所求的三个力的合力如图8所示,则合力与F1的夹角为60°。

点评:用正交分解法求共点力的合力的运算通常较为简便,因此同学们要在今后学习中经常应用。

运用关键

在处理力的合成和分解问题时,我们常把力沿两个互相垂直的方向分解,这种方法叫做力的正交分解法。这是一种很有用的方法,在运用时要注意以下几点:

1.力是矢量F′在X轴Y轴上的分矢量F′x和F′y是矢量,分量为正值表示分矢量的方向跟坐标轴的方向相同,分量为负值表示分矢量的方向跟坐标轴的方向相反。

2.确定矢量正交分量的坐标轴,不一定是取竖直方向和水平方向。例如,分析物体在斜面上的受力情况,一般选取x轴与斜面平行,y轴与斜面垂直。坐标轴的选取是以使问题的分析简化为原则。通常选取坐标轴的方法是:选取一条坐标轴与物体运动的加速度的方向相同(包括处理物体在斜面上运动的问题),以求使物体沿另一条坐标轴的加速度为零,这样就可得到外力在该坐标轴上的分量之和为零,从而给解题带来方便。

矩阵的正交分解

矩阵的正交分解

正交分解

矩阵的正交分解是指A分解为一个正交矩阵Q和一个对角可逆上三角矩阵R的乘积。

矩阵正交分解的应用

正交分解是先将线性方程组Ax=b的系数矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个对角可逆上三角矩阵R的乘积。然后通过求解上三角方程组Rx=Qb而求得原方程组的解,这种方法一般比三角分解法运算量大,但数值稳定性较好。

弧形的正交分解

以受力点为切点做圆弧的切线,再进行分解。

参考资料

1.高中物理受力分析技巧,物体受力分析的步骤·三好网

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