切比雪夫定理（数理定理）

切比雪夫定理

数理定理

切比雪夫定理，19世纪俄国数学家切比雪夫，研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义。

定理定义

19世纪俄国数学家切比雪夫，研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理chebyshev's theorem其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为，其中为大于1的任意正数。对，和有如下结果：

所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。

所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。

所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。

验证推导

设，，…，，…是相互独立的随机变量序列，数学期望和方差都存在()，且<()，则对任意给定的

，有

这就是切比雪夫定理。

特别地：，，…，，…是相互独立的随机变量序列，数学期望和方差则对任意给定的

，有

切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了理论根据．设测量某一物理量，在条件不变的情况下重复测量次，得到的结果，，…，是不完全相同的，这些测量结果可看作是个独立随机变量，，…，的试验数值，并且有同一数学期望。于是，按大数定理j可知，当足够大时，下式成立，即

上式表明，足够大时，把n次测量结果的算术平均值作为的近似值，所产生的误差是很小的。

参考资料

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