递归法（设计学术语）

递归法

设计学术语

递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。

概述

递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。

能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。

执行过程

递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。

在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。

在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数只是局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。

作用

由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。

应用

求解约束矩阵方程组和相应的最小二乘问题是最近研究的一个非常活跃的领域，并且具有广泛的应用范围，例如：结构设计，系统识别，结构动力学和自动化控制理论。

矩阵方程组(AX，XB)=(C，D)的一般公共解、一般最小二乘解以及对称最小二乘解。

主要问题表述如下：

问题Ⅰ：给定A，B，C，D∈Rn×n，求大型矩阵方程组(AX，XB)=(C，D)的一般公共解X∈Rn×n。

问题Ⅱ：给定A，B，C，D∈Rn×n，求大型矩阵方程组(AX，XB)=(C，D)的一般最小二乘解X∈Rn×n。

问题Ⅲ：给定A，B，C，D∈Rn×n，求大型矩阵方程组(AX，XB)=(C，D)的对称最小二乘解X∈Rn×n。

参考资料

1.用递归法求大型矩阵方程组（AX，XB）=（C，D）的解·知网空间