代数基本定理(数学定理)
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代数基本定理
数学定理
(代数学基本定理)任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1),由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根(重根按重数计算)。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。据说,关于代数学基本定理的证明,现有200多种证法。美国数学家John Willard Milnor在数学名着《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明,但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。的一个根,这个论证具有高度的创造性,但从现代的标准看依然是不严格的,因为他依靠了曲线的图形,证明它们必然相交,而这些图形是比较复杂,正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。
中文名 | 代数基本定理 | |||
外文名 | fundamental theorem of algebra | |||
提出者 | 洛特 | |||
提出时间 |
分类 | 数学 |
证明 | 高斯 |
发展简史
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。据说,关于代数学基本定理的证明,现有200多种证法。迄今为止,该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家J.P.塞尔曾经指出:代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明,但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。复变函数论中,对代数基本定理的证明是相当优美的,其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的,但证明不完整。接着,欧拉也给出了一个证明,但也有缺陷,拉格朗日于1772年又重新证明了该定理,后经高斯分析,证明仍然很不严格的。
代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文)高斯后来又给出了另外三个证法,其中第四个证法是他71岁公布的,并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数
定理定义
代数学基本定理说明,任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根。
由此推出,次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根(重根按重数计算)。
有时这个定理表述为:任何一个非零的一元次复系数多项式,都正好有个复数根。这似乎是一个更强的命题,但实际上是“至少有一个根”的直接结果,因为有一个根,只要不断把多项式除以,即可从有一个根推出有个根。
尽管这个定理被命名为“代数基本定理”,但它还没有纯粹的代数证明,许多数学家都相信这种证明不存在。另外,它也不是最基本的代数定理;因为在那个时候,代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程,所以才被命名为代数基本定理。
最小模方法
这一方法是阿尔冈使用的方法.它是纯粹实分析的,没有使用复变函数论,而只用到了复数的四则运算和开根运算。
设是复系数次多项式.不妨假定不是它的零点.显然函数在全复平面上下有界.通过三角不等式容易得出:当充分大时一定有
于是当趋于无穷时趋于无穷.故|一定在某点达到它的下确界;这是证明中第一次使用实数域的完备性.可以重写多项式为
如果,那么设的幅角为,并命构造复数是证明中第二次使用实数域的完备性.于是当充分小时就有:
矛盾.于是必然有
定理推广
设为d维连续局部鞍,为自然数,平方变差过程交互变差过程.若令.则过程为d维Brown运动。
定理意义
有时这个定理表述为:任何一个非零的一元次复系数多项式,都正好有n个复数根。这似乎是一个更强的命题,但实际上是“至少有一个根”的直接结果,因为不断把多项式除以它的线性因子,即可从有一个根推出有个根。
尽管这个定理被命名为“代数基本定理”,但它还没有纯粹的代数证明,许多数学家都相信这种证明不存在。另外,它也不是最基本的代数定理;因为在那个时候,代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程,所以才被命名为代数基本定理。
参考资料
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