纯虚数(数学术语)
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纯虚数
数学术语
在复数域中,负数-1的平方根记为i(即i²=-1),称为虚数或虚数单位。一个实数乘以i称为纯虚数,例如5i 就是一个纯虚数。
中文名 | 纯虚数 |
外文名 | purely imaginary number |
形式 | z=bi(b≠0) |
相关概念 | z=bi(b≠0) |
定义
形如的数叫作复数,其中是复数的实部,b是复数的虚部,全体复数组成的集合叫作复数集,用字母C表示。
复数,当b=0时,就是实数;当b≠0时,叫作虚数;当时.叫作纯虚数。
把复数表示成的形式,叫作复数的代数形式。
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几何意义
从复数相等的定义我们知道,任何一个复数都可以用一个有序实数对(a,b)唯一确定,这样我们可以用建立了直角坐标系的平面来表示复数。
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴,这样,实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
复数与复平面内的点及向量是一一对应的,复数的模表示复数对应的点到原点的距离。
从复平面上看,纯虚数显然有如下性质 z(z≠0)为纯虚数的充要条件是:对任意非零实数a,|z+a|=|z-a|。此性质可用来求解某些模方程(组)。
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判别
实数、虚数、纯虚数的判别方法
学习了纯虚数的定义以后,通过这类题来巩固对纯虚数的理解,请看例题.
例题:m为何实数时,复数是实数?虚数?纯虚数?
分析:要明确什么是复数的实部与虚部?何时它们有意义?何时它们为零或非零?从而由实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求进行讨论。
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解: 实部:。
虚部:。
当时,Z是实数;
当 且时,Z是虚数;
当或时,Z是纯虚数。
说明:当时,实部无意义,在讨论过程中应排除掉。
小结:对这类题可归纳为如下题型。
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欲判别复数
可化为解代数方程或不等式。
在实部、虚部都有定义的前提下:
实数(对应点在实轴上);;
虚数(对应点不在实轴上):;
纯虚数(对应点在虚轴上):且;
对应点在原点:解方程组,
对应点在实轴上方:解不等式
对应点在虚轴左侧:解不等式;
对应点在复平面的第一象限内:解不等式组
其他情况类推.但应注意所讨论的范围必须在的定义域内。
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参考资料
1.纯虚数·术语在线
2.纯虚数的一个性质及其应用·知网
3.纯虚数·豆丁网