参数方程（数学术语）

参数方程

数学术语

参数方程和函数相似：它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)——⑴；且对于t的每一个允许值，由方程组⑴所确定的点m(x，y）都在这条曲线上，那么方程组⑴称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数称为参变数，简称参数。

定义

参数方程和函数很相似：它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。

在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)——⑴；且对于t的每一个允许值，由方程组⑴所确定的点m(x，y）都在这条曲线上，那么方程组⑴称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数称为参变数，简称参数。类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t）。⑵

圆的参数方程公式：x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ∈[0，2π)）(a，b)为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数，(x，y)为经过点的坐标。

椭圆的参数方程 x=a cosθ　y=b sinθ（θ属于[0，2π）） a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数

双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数

直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过（x',y'），且倾斜角为a,t为参数.

或者x=x'+ut，　y=y'+vt (t属于R)x',y'直线经过定点（x',y'),u，v表示直线的方向向量d=（u，v）

圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ） y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π）） r为基圆的半径 φ为参数

平摆线参数方程 x=r（θ-sinθ） y=r（1-cosθ）r为圆的半径，θ是圆的半径所经过的角度（滚动角），当θ由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。

方程的应用

在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。

柯西中值定理

如果函数f(x）及F(x）满足：

⑴在闭区间[a，b]上连续；

⑵在开区间（a，b）内可导；

⑶对任一x∈（a，b），F'(x）≠0，

那么在（a，b）内至少有一点ζ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'（ζ）/F'（ζ）成立。

柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。

参考资料

1.高中数学参数方程知识点总结·高三网

2.圆的参数方程公式·高三网