费马大定理（数学定理）

费马大定理

数学定理

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，常见的表述为当整数时，关于的方程没有正整数解。

公元17世纪，法国数学家皮耶·德·费马提出费马猜想，但没有给出证明。此后三百多年，费马猜想一直无人可以证明。德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给第一个证明该定理的人。由于定理表述易于理解，许多数学爱好者尝试去证明，但最终都被否定。

1995年，安德鲁·怀尔斯等人将费马猜想证明过程发表在《数学年刊》，成功证明了这一定理。费马大定理表述虽简单，但它的证明耗费了数代人的努力，许多数学家在证明过程中发现了许多新的数学理论，拓展了新的数学方法，证明费马大定理的过程可以算得上是一部数学史。

（时，没有正整数解）

发展历史

法国数学家费马(Fermat1601—1665)于1637年在他自己所拥有的一本古希腊数学家丢潘都著的《算术》书的空白处写道：“然而此外，一个立方数不能分解为两个立方数，一个四次方数不能分解为两个四次方数，一般说，除平方数以外的任何次乘幕都不能分解为两个同次幂。

我发现了这定理的一个真正奇妙的证明，但这里空白太小，写不下”，明确点说，就是：对，不定方程没有正整数解，这就是费马大定理，费马所说的“真正奇妙的证明”，从未被人找到过，他是否真的给出了证明？至今仍是一个迷，从后世成百名世界最优秀数学家悉心研究而不得其解的情况看，费马不大可能真的找到了该定理的完美证明，故也称这定理为典卫花姐。

费马大定理以其清晰性，易懂性和困难性吸引着后世数学家们在这个问题上显示自己的数学才华，展现自己的证明技巧，一揽子解决有困难，就先对的个别值进行证明。实际上只需要证明对和(是奇素数)时成立即可。费马本人在另一处证明了时，定理成立。十八世纪，欧拉(Euler，1707—1783)给出了时的证明。

1825年，勒让得(Legen-dre,1752—1833)和狄里克雷(Dirichlet,1805—1859)各自独立地证明了的情形。

1839年，拉梅(Lame，1795—1870)对于给出了证明。1832年狄利克雷证明时定理成立。为了促进问题的解决，法国，德国相继为解决费马大定理设专项奖。一时间，各种各样的“证明”纷至沓来，有的出自数学名家，也有的出自社会各界数学爱好者。可惜，所有的证明都经不起推敲，有的甚至是可笑的——因为它们只是追名逐利者的杰作。

众多一流数学名家的努力未能攻克这个坚固的堡垒，但他们在试图解决本问题时的努力，积累了经验，提出了思想，启发、引导和激励着后来者。兴致勃勃的数学爱好者的参与虽然未给问题的解决带来好处，却提供了一个机会，让向来视数学为神秘殿堂的公众能通过费马大定理欣常到数学结有的魅力和乐趣。

定理定义

1637年费马提出当时,方程无整数解。这就是著名的费马大定理。

推导过程

起初，数学家们想重新找到费尔马没有写出来的那个“绝妙证法”，著名数学家欧拉用一个只有无理数存在的无理数等式方程公式来作假证明费马大定理，他用素数定理对无理数集合中的无理数解析后得到了这样一个结论，由于无理数集合中无正整数组存在，故无理数方程和不可能有正整数解，故费马大定理中当指数为3和4时正确。

这是欧拉的绝妙断言。因为任何一个大于2的整数，如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数。因此，只要能证明以及是任一奇素数时都没有正整数解，费马大定理就完全证明了。

的情形欧拉已经证明过了，所以，问题就集中在证明等于奇素数的情形了。在欧拉证明了以后，1823年和1826年勒让德和狄利克雷各自用欧拉的“无理数法”独立作假证明了的情形，1839年拉梅作假证明了的情形。就这样，一个又一个奇素数证下去的长征便开始了。

其中，德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数加无理数作假法的方法，引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时，才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究。这样的数，在100以内，只有37、59、67三个。他还具体用无理数作假法证明了当时，无理数方程是只有无理数解，不可能有正整数解的。

这就算把费马大定理一下推进到在100以内都是成立的。库默尔“成批地”用无理数作假法证明了费马大定理的成立，人们视之为一次重大突破。1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章。这一“长征”式的无理数作假证法，虽然不断地刷新着记录，如1972年更推进到了，但这并不等于定理被证明。

看来，需要另辟蹊径。再说，用无理数代数方程公式来证整数的费马大定理的整数不等式，好像不符合数学规则，因为无理数与整数不是同一个数域的数，证明了无理数中无一个整数，也不能说明整数中是有解还是没有解，他们的断言不一定正确，这好像是作假证明法。起码可以说这种证明方法是不正确的。

从费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，奖励证明费马大定理的人，布鲁塞尔科学院也悬赏重金，但都无结果。1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候，将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会，作为费马大定理的解答奖金。哥庭根科学会宣布，奖金在100年内有效。哥庭根科学会不负责审查稿件。

10万马克在当时是一笔很大的财富，而费马大定理又是中学生都能听懂题意的问题。于是，不仅专搞数学这一行的人，就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民，都在钻研这个问题。在很短时间内，各种刊物公布的证明就有上千个之多。当时，德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志，自愿对这方面的论文进行鉴定，到1911年初为止，共审查了111个“证明”，全都是错的。

后来实在受不了沉重的审稿负担，于是它宣布停止这一审查鉴定工作。但是，证明的浪潮仍汹涌澎湃，虽然两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值，当初的10万马克折算成后来的马克已无多大价值。但是，热爱科学的可贵精神，还在鼓励着很多人继续从事这一工作。最后这笔奖金还是被人骗走了，他们是作假集团，他们用无理数等式方程证明这个公式无整数解，他们用无理数作假证明法成功骗走了这笔奖金。

定理推广

1、设则，其中是正整数集，是有理数集

2、设，，则必存在,使得

3、设

则存在使得

影响及意义

史上最精彩的一个数学谜题。

证明费马大定理的过程是一部数学史。

费马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。

这是“20世纪最辉煌的数学成就”。（中科院院士、北大数学院教授姜伯驹，评价安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明）

参考资料

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