多边形内角和定理（数学定理）

多边形内角和定理

数学定理

定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n－2）×180°，则正多边形各内角度数为：（n－2）×180°÷n。理解多边形及有关概念，掌握多边形内角和定理及推论，理解其推导过程，并能较熟练地使用它们进行有关计算。在多边形内角和定理的推导过程中，培养学生类比、转化、归纳的科学思想方法；在定理及推论的应用过程中培养建立方程的思想。

其他资料

多边形及有关要领的教学

1．复习四边形、凸多边形及有关概念。

2．通过实例引入多边形、凸多边形及明关概念。

⑴举出生活中多边形的实例；

⑵类比定义多边形式、凸多边形的概念，并指出如果

没有特别说明，多边形一般指凸多边形；

⑵将四边形的有关概念逐项扩展到多边形情况，如顶

点、边、内角、对角线表示方法等；图4-10

⑷简单练习，巩固多边形的表示方法及有关元素的辨认。

（投影）练习1填空：如图4-10，此多边形应记作

边形，AB边的邻边有、，顶点F处的内角为，画出顶点D处的两个外角，过顶点A画出这个多边形的对角线，共有多少条，它们把多边形分在了个三角形，这个多边形共有多少条对角线。

探索凸多边形的内角和的性质并进行推导

1．提出问题。

由三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，猜想多边形的内角和度数与边数有关。具体是什么关系？

2．启发学生猜想证明的思路。

⑴复习四边形内角和定理的证明过程，强调把四边形分割成三角形，从而“把四边形内角和转化为三角形内角和来研究”这种化归的思想。

⑵引导学生类比联想，用化归的思想和从特殊到一般的方法研究五边形、六边形、七边形……的情况。

①教师应帮助学生分析出解决问题的关键是多边形分割转化成有公共顶点的三角形的方法，以及割成三角形的个数与多边数的关系；

②引导学生认识分割方法的多样性（见设计说明），选择其中较为简单并顺庆大部分学生认识过程的分割方法，推导五边形、六边形……的情况，归纳出n边形内角和的结论。

3．得到定理：n这形的内角和等于（n-2)?180°。

说明：⑴多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；

⑵强调凸多边形的内角a的范围：0°<；α<180°。

凸多边形外角和性质的猜想和推导

1．复习多边形外角和的含义及三角形、四边形外角和的性质，猜想凸多边形的外角和的结论。

2．以六边形为例，推导外角和性质。

3．将推导方法推广到一般情况，得出结论：任意多边形的外角和等于360°。

4．教师强调“任意”两字，说明书凸多边形的外角和与边数无磁，因此，比内角和定理使用起来更为方便。

应用举例、变式练习

例1⑴22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的

每个外角度数是多少？

⑴几边形的内角和是八边形内角和的2倍？

⑷已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数。

分析：

①引导学生利用方程的思想，根据多边形的内角和、外角和的性质及题目中提供的等量关系得出关于未知数的方程去求解；

②对于利用多边形内角和公式反求边数的题目，需注意：只有求出的边数n是大于2的正整数时，问题才有解；

③灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算。

例2⑴已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数；

⑵每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数。

分析：

①每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为（n-2)?180°/n，从而利用360°/n，利用这两点就可以列出关于边数n的方程，其中第二种方法较为简单。

②对于第⑴题，可将“每个角都是135°”转达化为“每个外角都为45°”，从而利用360°/n=45°，得出n的值为8。

③若设边数为n，则方程为（n-2)?180°/n=9×360°/n得出n=20。

（选用）例3⑴某多边形除一个内角a外，其余内角的和是2750°。求这个多边形的边数。

⑵已知n边形恰有四个内角是钝角。这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？

分析：利用多边形每个内角a的范围，0°<；α<180°，以及题目所提供的角度关系列不等式解决问题。

解：⑴由题意得（n-2)?180°=α+2750°，∴α=（n-2)?180°-2750°。

又∵0°<；α<180°，∴0°<；（n-2)?180°-2750°<180°，

∴175/18

因此这个多边形为18边形。

⑵设四个钝角分别为α，β，γ，δ。则

∵360°<；α+β+γ+δ<720°。

而另外n-4个内角都是直角或锐角，

∴（n-4）×0°<；其余（n-4）个内角的和≤（n-4）×90°，

∴360°<；（n-2)?180°<720°+（n-4）×90°，

即360°<；（n-2)?180°<720°+（n-4）×90°，∴4

∵4

∴这样的多边形共有三个，其边数最小的是五边形，边数最多的七边形。

补充练习：

1．几边形的内角和与外角和之比是7∶2？（答：9)

2．已知一个多边形的每个内角都是钝角，这样的多边形有多少个？每个内角都是锐角的多边形有多少个？是几边形？每个内角都是直角的多边形有几个？是几边形？（答：无数个；一个，三角形；一个，四边形）

3．多边形最多有几个外角是钝角？最多有几个内角是锐角？（答：3个；3个）

教具

投影片、表格纸、n边形若干（分组每人准备一种三张，n=4，5，6，7)

量角器、剪刀

教学目标

认知目标

理解多边形有关概念；

理解多边形内角和公式的推导过程；

掌握多边形内角和的计算。

能力目标

掌握类比归纳、转化的学习方法；

培养学生思考、解决问题的能力。

教学过程

教学步骤，教师活动，学生活动，设计意图

多边形概念

1、了解概念

⑴请同学们回忆一下怎样的图形是三角形？

⑵那么怎样的图形叫做四边形？

⑶出示分别叫什么？

⑷四边形、五边形、六边形都是多边形，同学们再想一想，

你能举出多边形的例子吗？悄悄说，后个别回答

⑵同学举手指名答

⑶齐答

⑷两两互说学生利用三角形、四边形的定义进行知识迁移，获得多边形的概念。

2、理解概念的特征

⑴投影显示多边形，n边形的概念，老师强调一遍。

⑵投影显示：下列哪些图形是多边形？是多边形的请说明是几边形？

⑶下面进一步学习一些概念：多边形的对角线，在（b）（c）上画出并口述概念，同学们请在准备的一张图形上画出至少一条对角线。

⑷观察（b）（c）对角线位置有何不同？

⑸进而提出凸多边形概念，今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形。

⑵齐答个别答

⑶先独立画后同桌交流

⑷四人组讨论一分钟，组长回答利用图示帮助学生理解概念及对n的认识，通过比较辨析强化凸多边形的特征。

公式推导

1、提出问题

⑴我们知道三角形内角和是多少？

⑵那么四边形、五边形、常见的六边形螺帽的内角和是多少呢？多边形的内角和有没有计算方法呢？这就是我们这节课研究的课题。

板书课题：多边形的内角和

⑴齐答

⑵引发学生思考创设情景，激发学生兴趣，并揭示课题。

2、动手操作实践，自己探索

⑴请同学们利用数学工具，先把你们手上的多边形的内角和计算出来，并完成表格（同桌多边形边数不一样）老师巡视、指导可能有的方法：

⑴用量角器量角

⑵用剪刀剪成三角形或四边形

⑶画对角线分割多边形为三角形逐步启发得到最佳方法：通过对角线划分成三角形，转化为利用三角形内角和求出。

⑴自己动手、动脑学生利用学具进行操作、思考、解决问题的多种方法，提供学生主动探索的时间、空间。

3、观察、寻找规律

⑴请问同学们求出的内角和是多少？

⑵你是用什么方法求出来的呢？有几种方法？哪种方法最好呢？

⑶交流表格。

⑷四、五、六、七边形内角和之间有何规律？

⑴对不同边数多边形分别请同学回答

⑵举手请同学上讲台讲

⑶交流

⑷四人小组讨论，组长发言体现“有方法、方法多、方法好”的教

学层次，通过填表便于学生寻找规律，发现内在联系，进一步可做出猜想。

4、猜想那么对于n边形猜想一下内角和计算公式是什么？（老师参与讨论）小组之间讨论，组长发言鼓励学生大胆猜想、大胆发现。

5、验证

⑴就我们已求出的特殊多边形的内角和，通过公式再求一次是否相符

⑵请同学们自己举一个例子验证一下对不对？有没有反例？

⑴独立举例检验

⑵两两交流

6、小结归纳通过动手操作，我们找到了解决问题的几种方法，知道利用多边形的对角线将多边形划分成三角形转化为利用三角形内角和来求多边形内角和的方法最好。又通过寻找规律，猜想发现多边形内角和计算方法，并加以验证，接着就可以从特殊到一般归纳出计算公式是什么？自己说通过类比归纳，完成从特

殊到一般的认识、体现数学认识的一般过程。

7、巩固练习

⑴求12边形的内角和度数

⑵如果12边形的每一个内角相等，那么每个内角是多少度

⑶已知多边形的内角和为1800°，这个多边形是几边形？老师巡视、指导。集体做，三个学生上黑板做并请请其他同学讲评 加深对公式的理解

总结

本节课我们学习了多边形的内角和公式，重点是它的推导过程，我们采取的方法是通过对角线划分，把多边形分成若干个三角形，利用熟悉的三角形内角和来做，从特殊的多边形归纳出n多边形的内角和公式是（n－2）·180°这种学习方法我们在今后的学习过程中要学用、会用。学生和老师一起总结再次强调

推导公式方法。

延伸，提高练习（时间不够放在课外）

⑴投影：在n边形一边上任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，查得几个三角形，图中取n=6的情形，你能否根据这样的划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n－2）·180°（教师参与讨论）

⑵想一想是否还有其它的划分方法？

⑴全班交流、汇报

⑵小组讨论、汇报掌握转化思想

教师

如何营造良好的学习氛围，发挥学生的学习积极性与创造性？。

老师要放下威严的架子，从教学垄断者转变为组织引导者，这也正是课程改革新形势下的教师必须做到的一点，只有这样，才能建立平等的民主的师生关系，从而使老师在学生中产生强烈的感召力，使教学不再是冷冰冰的理智活动，而是学生全身心投入的、充满激情的学习活动。

本课通过从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成n-2个三角形，得出：n边形的内角和为（n－2)X180°。得出结论后，老师并没有到此就结束，而是鼓励学生进行探究。让学生试着在多边形内任取一点，由这点向各顶点连线，是否也能推导出内角和公式呢?学生们一下子来了兴趣，纷纷在练习本上画图、研究，有的学生相互之间还进行了讨论，进行新的探讨。

学生参与

不多时，学生甲兴奋地站了起来，说出了他的推导方法：有几条边就能分成几个三角形，这些三角形所有内角和为nX180°。由于以点p为顶点的周角不属于多边形的内角，应从中减去，从而就得出n边形的内角和是（n－2)X180°。接着老师对他进行了鼓励，和全班同学为他鼓掌祝贺，这个同学的高兴劲就甭提了。同时全班学生也对此问题产生了极大的兴趣。这时，学生乙（是个女生）也站了起来，“老师，我还有第三种方法”。

她很自信地说出了她推导的道理，并要求到黑板前画图讲解，老师又对她进行了鼓励，“好，你来当老师，我做学生”。只见她在黑板上画了图，又在其中一边上取一点p，然后向各顶点连线，也得到了多个三角形，分割成的三角形的个数比边数少1，所以这些三角形所有的内角和为（n－1)X180°，由于所有三角形的其中一个顶点都在点p上，组成一个平角，不属于多边形的内角，应减去，因此，多边形的内角和为（n－1)X180°－180°，即为（n－2)X180°。

这时，全班学生禁不住鼓起掌，老师也为这个学生高兴地鼓掌。看到学生研究问题的兴趣很浓，老师顺水推舟，激励学生们继续探究，既然已有了三种方法，那么有没有第四种方法呢?学生们这时的兴致更浓了，开始讨论、探究。过了不久，学生丙站起来，郑重地向全班学生说：“第四种方法有了！”其他学生迫不及待地想知道他的想法，就连老师当时也没想到他能找到第四种方法。

他高兴地走到黑板前，拿起粉笔在黑板上画了个多边形，在多边形的外边取了个点p，然后从点p向和它不相邻的顶点连线，这样，把多边形分成了2个三角形和（n—3）个四边形，这2个三角形的内角和为180°X2，（n－3）个四边形的内角和为（n－3)X360°，总和为180°X2+(n－3)X360°，在这个总和里，连了几条线，就多了几个平角，应减去。

n边形能连（n－2）条，所以减（n－2）个平角，即180°X2+(n－3)X360°－（n－2)X180°等于（n－2)X180°。这时，整个教室里又爆发出更热烈更长久的掌声。可想而知，此时同学们的心情是多么激动啊，在他们心目中，数学已经不再是那么枯燥无味了。或许，他们感觉到数学离他们那么近，那么有趣，又那么奇妙。

总结

掌声之后，老师鼓励同学们，数学的奥秘很深，永无止境，你不研究它，感到枯燥，你研究它，感到趣味无穷。数学就是这样。

参考资料

1.正多边形内角和公式·高三网