顶点式（数学二次函数形式）

顶点式

数学二次函数形式

顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标：（h，k）。还有另外一种形式：y=a（x+h）²+k（a≠0），则此时顶点坐标为（-h，k）。a

解释

在二次函数的图像上

顶点式：y=a(x-h)²+k,抛物线的顶点P（h,k）

顶点坐标：对于一般二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b²)/4a)

任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=O时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点.

考点扫描

1．会用描点法画出二次函数的图象。

2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置。

3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式。

4.将一般式化为顶点式。

讲解

概念

1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)²;+k，y=ax²;+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

y=ax²;y=a(x-h)²;

y=a(x-h)²;+k

y=ax²;+bx+c

顶点坐标(0，0)，(h，0)，(h，k)

(-b/2a,(4ac-b²;)/4a)

对称轴x=0，x=h，x=h

x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)²;的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²;+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²;+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²;+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²;+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax²;+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax²;+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是()．

3．抛物线y=ax²;+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a被时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax²;+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b²;-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=．

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax²;+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²;+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

字母与抛物线关系

1.抛物线的一般式:y=ax²+bx+c（a≠0）

顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0）

2.抛物线y=ax²+bx+c化成顶点式为y=a(x-h)²+k

3.a>0时开口向上

a<0时开口向下.

︱a︱相同，则形状相同

︱a︱越大，则开口小

︱a︱越小，则开口大.

4.a>0时，抛物线有最低点，有最小值

a<0时,抛物线有最高点，有最大值.

5.a>0时

在对称轴左侧，y随x的增大而减小

在对称轴右侧，y随x的增大而增大

a<0时

在对称轴左侧，y随x的增大而增大

在对称轴右侧，y随x的增大而减小

6.判断抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的位置由C决定

①当C>0时抛物线与y轴相交于正半轴上

②当C=0时抛物线与y轴相交于原点

③当C<0时抛物线与y轴相交于负半轴上

7.抛物线与x轴交点的个数由△决定

当△>0时，抛物线与x轴有2个交点；

当△=0时，抛物线与x轴只有1个交点，即顶点在x轴上；

当△≥0时，抛物线于x轴总有交点；

当△<0时，抛物线与x轴没有交点。

参考资料

1.二次函数形式：顶点式、交点式、两根式·中考网