一次函数（数学概念）

一次函数

数学概念

一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数（direct proportion function）。

一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。

函数由来

“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量，就这样“函数”这词逐渐盛行。

在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。

瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义。1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数。

1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起。

首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为“函数”。在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词。

1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值。

1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”

德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数。”

上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。

由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

表示方法

一次函数有三种表示方法，如下：

解析式法

用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。

列表法

把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。

图像法

用图象来表示函数关系的方法叫做图像法。

解析式

一次函数的解析式为：

其中m是斜率，不能为0；x表示自变量，b表示y轴截距。且m和b均为常数。先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的斜率，从而得出解析式。该解析式类似于直线方程中的斜截式。

基本性质

1、作法与图形：通过如下3个步骤：

（1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表；

（2）描点：一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，即在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

一般地，y=kx+b（k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。

正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出。

（3）连线：可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

2、性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b（k≠0）。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图象都是过原点。

3、函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4、k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线）

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b（k，b为常数，k≠0）时：

当k>0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，三象限；

当k>0，b<0，这时此函数的图象经过一，三，四象限；

当k<0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，四象限；

当k<0，b<0，这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>0时，直线必通过一、二象限；

当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。

5、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。

当y=0时，该函数图像在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。

6、直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

k>0，b>0：经过第一、二、三象限

k>0，b<0：经过第一、三、四象限

k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）

结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0，b>0：经过第一、二、四象限

k<0，b<0：经过第二、三、四象限

k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）

结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

7、将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。

8、k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ（角θ为一次函数图像与x轴正方向夹角，θ≠90°）。

9、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数斜率相等。

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数斜率的乘积为-1。

特殊位置关系的证明

关于平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数斜率互为负倒数的证明：

如图，这2个函数互相垂直，但若直接证明，存在困难，不易理解，如果平移平面直角坐标系，使这2个函数的交点交于原点，就会更简单。就像这一样，可以设这2个函数的表达式分别为；

y=ax，y=bx。

在x正半轴上取一点（z，0）（便于计算），做与y轴平行的直线，如图，可知OC=z，AC=a*z，BC=b*z，由勾股定理可得：

OA=√z^2+（a*z）^2

OB=√z^2+（b*z）^2

又有OA^2+OB^2=AB^2，得

z^2+（az）^2+z^2+（bz）^2=（az-bz）^2（因为b小于0，故为az-bz）化简得：

z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2

2z^2=-2ab*z^2

ab=-1

即k=-1

所以两个K值的乘积为-1。

注意：与y轴平行的直线没有函数解析式，与x轴平行的直线的解析式为常函数，故上述性质中这两种直线除外。

学习方法

知识要点

1、要理解函数的意义。

2、联系实际对函数图像的理解。

3、随图象理解数字的变化而变化。

误区提醒

1、对一次函数概念理解有误，漏掉一次项系数不为0这一限制条件；

2、对一次函数图像和性质存在思维误区；

3、忽略一次函数自变量取值范围；（有时x∈Z，其图象表现为非连续性的点的集合）

4.对于一次函数中，把自变量认为不能等于零。

和方程的异同

1、一次函数和一元一次方程有相似的表达形式。

2、一次函数表示的是一对（x，y）之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值。

3、一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。

4、以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=（-a/b）x+c/b的图象相同。

5、二元一次方程组a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数y=（-a1/b1）x+c1/d1和y=（-a2/b2）x+c2/d2的图象的交点。

和不等式关系

从函数的角度看，解不等式的方法就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围的一个过程；

从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。

当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>-b/k，不等式kx+b<0的解为：x<-b/k；

当k<0的解为：不等式kx+b>0的解为：x<-b/k，不等式kx+b<0的解为：x>-b/k。

函数应用

概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

常用公式

1、求函数图像的k值：（y1-y2）/（x1-x2），即k=tanα（α为直线与x轴正方向的夹角）

2、求与x轴平行线段的中点：（x1+x2）/2

3、求与y轴平行线段的中点：（y1+y2）/2

4、求任意线段的长：√

5、求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，令y1=y2，得k1x+b1=k2x+b2。将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1，y2=k2x+b2两式的任一式，得到y=y0，则（x0，y0）即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。

6、求任意2点所连线段的中点坐标：（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2）

7、求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/（x1-x2）=（y-y1）/（y1-y2）（若分母为0，则分子为0）

（x，y）的正负性为+，+（正，正）时该点在第一象限

（x，y）的正负性为-，+（负，正）时该点在第二象限

（x，y）的正负性为-，-（负，负）时该点在第三象限

（x，y）的正负性为+，-（正，负）时该点在第四象限

8、若两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相平行，则k1=k2，b1≠b2

9、如两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相垂直，则k1×k2=-1

10、设原直线为y=f（x）=kx+b

y=f（x-n）=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位

y=f（x+n）=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位

y=f（x）+n=kx+b+n就是向上平移n个单位

y=f（x）-n=kx+b-n就是向下平移n个单位

口诀：左加右减相对于X，上加下减相对于b。

11、直线y=kx+b与x轴的交点：（-b/k，0），与y轴的交点：（0，b）

生活中的应用

1、当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2、如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

3、当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）。

参考资料

1.一次函数·初三网