对勾函数（类似于反比例函数的一般函数）

对勾函数

类似于反比例函数的一般函数

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（ab>0）的函数。由图像得名，又被称为“双勾函数”“勾函数”“对号函数”“双飞燕函数”等。常见a = b = 1。

f(x)=ax b/x（ab>0）

函数定义

对勾函数是指形如f(x) = ax + b/x（ab>0）的函数。

性质

图像

对勾函数的图像是分别以y轴和y = ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。

若a>0，b>0，在第一象限内，其转折点为。

最值

当定义域为时，（a>0，b>0)在处取最小值，最小值为。

当定义域为时，该函数无最值。

当定义域为时，（a>0，b>0)在处取最小值，最小值为。

奇偶、单调性

奇偶性

对勾函数是奇函数。

单调性

令，那么：

增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}[2]

变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增。

渐近线

对勾函数的两条渐近线分别为y轴、y = ax。

推导过程

1.导数法

求导得

令f'(x)=0，计算得

即对勾函数的转折点横坐标分别为，。

2.均值不等式法

当时，

由均值不等式（a>0，b>0）

将ax + b/x中ax（a>0）看做a，b/x看做b代入上式，得

当且仅当ax = b/x，即时等号成立。

故当x>0时，对勾函数的转折点横坐标为。

参考资料

1.对顶函数·函数知识网

2.对勾函数的性质及图像_“对勾函数”的图像和性质全析·爱扬教育网