卷积积分（数学运算）

卷积积分

数学运算

卷积积分是分析数学中一种重要的运算。卷积积分 [3] 在时域分析中是一个很重要的概念和数学工具。除了卷积的图解法和数值解以外 ，直接根据卷积定义的函数式求积分也可以采用几种不同的方来进行 。

定义

设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列 、测度以及广义函数上去。

物理意义

在激励条件下，线性电路在t时刻的零状态响应=从激励函数开始作用的时刻（ξ=0）到t时刻（ ξ=t）的区间内，无穷多个强度不同的冲激响应的总和。可见，冲激响应在卷积中占据核心地位。

参考资料

1.信号卷积物理意义·课后学习网