拐点（数学用语）

拐点

数学用语

拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。

在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。一般的，设y=f(x）在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x）在经过点（x0,f(x0））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0,f(x0））为这曲线的拐点。

基本定义

拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点。若该曲线图形的函数在拐点有二次导数，则二次导数必为零或不存在。

在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方（例如：经济运行出现回升拐点）

数学含义

在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。

拐点定义（根据高等数学同济6版上册第151页）

一般的，设y=f(x）在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x）在经过点（x0,f(x0））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0,f(x0））为这曲线的拐点。

拐点的必要条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），若（x0,f(x0））是曲线y=f(x）的一个拐点，则f‘’（x0)=0。

拐点的充分条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），则f‘’（x0)=0，若在x0两侧附近f‘’（x0）异号，则点（x0,f(x0））为曲线的拐点。否则（即f‘’（x0）保持同号，（x0,f(x0））不是拐点。

当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。

若函数y=f(x）在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x）的拐点。另外，如果c是拐点，必然有f''(c)=0或者f''(c）不存在；反之则不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但是0两侧全是凸，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点。

拐点的求法

（摘录自高等数学同济5版上册第149页）

可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x）的拐点：

⑴求f''(x）；

⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x）不存在的点；

⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x）在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0,f(x0））是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0,f(x0））不是拐点。

例如，y=x^3,y'=3x^2,y''=6x，解出x=0时，y'=0,y''=0：y在（负无穷大，0）上为增函数，y''<0，函数曲线为凸函数；y在（0，正无穷大）上为增函数，函数y''>0，函数曲线为凹函数。但y全区间函数为增函数，拐点在这里说明的只是函数曲线凹凸分界点。

参考资料

1.曲线拐点·中国知网