多项式定理（数学定理）

多项式定理

数学定理

二项式定理的展开式富有规律性、美观性，体现了数学的美学文化，而多项式定理为二项式定理的推广。用实际生活中的空盒放球来描述的话，则为：把 n 个有区别的小球放入到 k 个有区别的盒子中（盒内无序），使得第一个盒子里边装有 n1 个小球，第二个盒子里边装有 n2 个小球，…，第 t 个盒子里边装有 nt个小球，并且满足 n1+n2+...+nt=n，则可以很容易的利用多项式定理得到不同方法总的数目。

定理定义

多项式定理是德国数学家莱布尼兹首先发现的，他将此发现写信告诉了瑞士数学家约翰.贝努利，由贝努利完成了定理的证明。

设是正整数，则对一切实数 

其中求和是对满足方程 的一切非负整数 来求 。

多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令就得到了二项式定理 。

验证推导

对变量的个数 进行归纳：当 时，结论成立；

假设个变量时结论成立，下面证明个变量时结论也成立。

用来表示元基本对称多项式。

用来表示元基本对称多项式。

......

最后一个恒等式告诉我们，任何  的 次或更高次项都可以表示为以对称多项式为系数的关于的低于次的多项式。因此该公式可以写成

定理推广

大数学家欧拉在牛顿发现的二项式定理基础上不断进行扩展，得到更为广泛的多项式定理

首先令，换成 则得到：

把上述的级数记为

你会发现任何一个系数N都由它的前一项决定，这个通用公式就是

时，初始项，就得到第二项系数

时，,就得到第三项的系数

类似的第四项系数

这与原级数一致。

欧拉假设 ，换成 则：

展开按升幂排列得到

把它记做为：

那么任何一个系数由它的前两个系数决定的公式就是：

参考资料

1.·

2.·